Производные высших порядков Лекции и задачи

Производные высших порядков

   Пример 4.19 Найдём вторую производную функции $f(x)=\sin^3x$ . Первая производная равна
$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$
далее находим
$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$

        Пример 4.20 Пусть $y=f(x)=e^{kx}$ . Тогда
$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$
При все производные оказываются равными исходной функции: $(e^x)^{(n)}=e^x.$
        Пример 4.21 Рассмотрим функцию $y=f(x)=\sin x$ . Тогда
$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)
Поскольку четвёртая производная $y^{(4)}$ совпала с исходной функцией , то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $k=0;1;2;\dots$ получаем
$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$
Заметим также, что

$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$

Легко видеть, что имеет место общая формула:
$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$

        Упражнение 4.4 Рассмотрите функцию $y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.
        Упражнение 4.5 Найдите производные произвольного порядка от гиперболических функций $\mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $\mathop{\rm ch}\nolimits x$ .
        Упражнение 4.6 Найдите производные произвольного порядка от функции $y=\ln x$ . Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $y^{(n)}$ ; эта формула будет содержать знак факториала ( $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ ).
        Упражнение 4.7 Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.

Линейная алгебра. Основные определения Функции нескольких переменных Математика Примеры решения задач
Операция умножения матриц
Определители ( детерминанты)
Элементарные преобразования
Cвойства обратных матриц
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Метод Крамера
Решение произвольных систем линейных уравнений
Элементарные преобразования систем
Метод Гаусса

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа