дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Матрицы Определители

С понятием определителя мы уже сталкивались при изучении векторного произведения в разделе 10. Там были введены определители матриц второго и третьего порядка. В этом разделе мы дадим определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка $ n$ , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка $ {n-1}$ . Такое рекуррентное определение и было использовано для введения определителя матрицы третьего порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы $ A$ будем обозначать $ \vert A\vert$ или $ \det A$ .

        Определение 14.6   Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rr}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right)}$ второго порядка называется число $ {\vert A\vert=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ . Определителем квадратной матрицы $ {A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdo... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right)}$ порядка $ n$ , $ n\geqslant 3$ , называется число
$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k,$
где $ M_k$  -- определитель матрицы порядка $ {n-1}$ , полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и столбца с номером $ k$ .         

Легко проверить, что это определение для определителей второго и третьего порядка совпадает с данным ранее в разделе 10.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

\begin{multline*} \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13... ...31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{array}\right\vert. \end{multline*}
        Замечание 14.7   Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.         
        Замечание 14.8   В определении 14.6 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка $ n$ и принимающая значения в множестве чисел.         
        Замечание 14.9   В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение $ \det A$ .         

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде предложений.

Линейная алгебра.   Основные определения Функции нескольких переменных Математика Примеры решения задач
Операция умножения матриц
  Определители ( детерминанты)
Элементарные преобразования
Cвойства обратных матриц
Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Метод Крамера
Решение произвольных систем линейных уравнений
Элементарные преобразования систем
Метод Гаусса

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;