[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Функции и их графики

Пример 1.1 Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров $ {A=\{1;2;\dots;20\}}$ и множество $ B$-- множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие $ f$, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента,-- это функция $ f:n\mapsto Ф$, где $ n$-- номер студента в группе (от 1 до 20) и $ Ф$-- фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение $ f(n)$ определено для всех $ n\in A$. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества $ B$-- множества всевозможных фамилий-- присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов$ \in B$ не будет значением $ f(n)$ ни при каком $ n\in A$. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах $ n_1\in A$ и $ n_2\in A$ элемент Петров$ \in B$ будет значением функции $ f$, то есть $ f(n_1)=Петров$ и $ f(n_2)=Петров$.

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}$

не обязано совпадать со всем множеством $ B$, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие $ x_1,x_2\in\mathcal{D}(f)$, что $ x_1\ne x_2$, но $ f(x_1)=f(x_2)$. В таком случае часто говорят, что элементы $ x_1$ и $ x_2$ склеиваются при отображении $ f$.

Определение 1.2 Если $ \mathcal{E}(f)=B$, то есть для любого элемента $ y\in B$ найдётся элемент $ x\in A$ такой, что $ f(x)=y$, то функция $ f$ называется отображением $ A$ на $ B$ (напомним, что в общем случае $ f$-- это отображение из $ A$ в $ B$). Отображение "на" также называют сюръективным отображением или сюръекцией.
Если для любых двух разных элементов $ x_1,x_2\in A$ ( $ x_1\ne x_2$) значения $ f(x_1),f(x_2)\in B$ тоже разные ( $ f(x_1)\ne f(x_2)$), то отображение $ f$ называется вложением множества $ A$ в множество $ B$, или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1.2 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=[-1;1]$ и отображение $ f$ для $ x\in A$ задано формулой $ f(x)=\sin x$. Тогда $ f$-- сюръекция, так как любое число $ y$ из отрезка $ [-1;1]$ равно значению $ \sin x$ при некотором $ x$.

Рис.1.2.Все числа $ y\in[-1;1]$-- это значения функции $ \sin x$