[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.3 Пусть $ A=\mathbb{R}, B=\mathbb{R}$ и отображение $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ задано при $ x\in\mathbb{R}$ формулой $ f(x)=x^3$. Тогда отображение $ f$ одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
1) любое значение $ y\in\mathbb{R}$ есть значение $ x^3$ при некотором $ x$ (а именно, при $ x=\sqrt[3]{y}$);
2) никакие два разных значения $ x_1,x_2\in\mathbb{R}$ не могут дать одинаковых значений $ x_1^3=x_2^3$, так как из неравенства $ x_1<x_2$ следует неравенство $ x_1^3<x_2^3$.

Рис.1.3.Кубы разных чисел не совпадают

6.      Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции.

                             у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.


Определение 1.3 Отображение $ f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $ A$ и $ B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $ x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $ y\in B$, причём для каждого элемента $ y\in B$ имеется такой элемент $ x\in A$, который сопоставлен этому $ y$.

Замечание 1.1 Если отображение $ f:A\to B$-- вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества $ A$ и множеством значений функции $ \mathcal{E}(f)$, то есть частью множества $ B$. Пусть $ \mathcal{E}(f)=B'$. Тогда функция $ f$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами $ A$ и $ B'$. (Более формально: функция $ f_1:A\to B'$, совпадающая с $ f$ при всех $ x\in A$,-- это биекция. В таких ситуациях, когда функции $ f$ и $ f_1$ имеют одну и ту же область определения $ A$ и их значения совпадают при всех $ x\in A$, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае-- буквой $ f$.)

Рис.1.4.Множество $ \mathcal{D}(f)$ взаимно-однозначно отображается на множество $ \mathcal{E}(f)$