[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $ p$ соответствует ровно один выданный номерок $ n$. Таким образом, между множеством $ P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $ N'$ ($ N'$-- это подмножество множества $ N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $ f: p\mapsto n$ ($ p\in P$, $ n\in N'$).

Определение 1.4 Если $ f:A\to B$-- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $ y\in B$ тот элемент $ x\in A$, который переходит в этот самый $ y$ при отображении $ f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $ f$ и обозначается $ f^{-1}$. Таким образом, $ f^{-1}:B\to A$, и $ f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $ f(x)=y$ ($ x\in A$, $ y\in B$).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $ f:P\to N'$-- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $ n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $ p\in P$. Соответствие $ g:N'\to P$, $ n\mapsto p$ ($ n\in N'$, $ p\in P$)-- это обратная функция к функции $ f:P\to N'$, $ p\mapsto n$, то есть $ g=f^{-1}$.

Очевидно, что в случае, если $ f:A\to B$-- биекция и $ f^{-1}$-- обратная к $ f$ функция, то $ f^{-1}(f(x))=x$ для всех $ x\in A$ и $ f(f^{-1}(y))=y$ для всех $ y\in B$. Последнее равенство показывает, что $ (f^{-1})^{-1}=f$ и что функции $ f$ и $ f^{-1}$ взаимно обратны. (То есть если $ g$-- функция, обратная к $ f$, то $ f$-- функция, обратная к $ g$.)

Рис.1.5.Функции $ f$ и $ f^{-1}$ взаимно обратны

ЗАДАЧА 10

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

План решения:

1. Для функций стоящих в числителе и знаменателе определить дополнительные множители  и , такие что  и  будет рациональными функциями.

если , то

 если  то

2. Домножить числитель и знаменатель дроби стоящей под знаком предела на произведение , получим

.

Затем преобразовать рациональные выражения и , при условии что , можно сократить сомножители .

Далее используя правила вычисления находим значение предела.

Замечание: Одна из функции может полностью стоять под знаком радикала, тогда ее нужно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.



Итак, для того чтобы функция $ f:A\to B$ имела обратную функцию $ f^{-1}:B\to A$, функция $ f$ должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между $ A$ и $ B$. Тогда обратная функция $ f^{-1}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между $ B$ и $ A$.