[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.6 Функция $ f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)$, заданная формулой $ y=f(x)=x^2$,-- это биекция. Обратная к ней функция-- это квадратный корень: $ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Рис.1.6.Функции $ y=x^2$ и $ x=\sqrt{y}$-- взаимно обратны


В математическом анализе основную роль играют такие функции $ f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть $ \mathcal{E}(f)\sbs\mathbb{R}$. Такие функции $ f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6-- числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 1.7 Пусть $ A$-- множество всевозможных отрезков $ CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $ C$ и $ D$) не совпадают. Пусть соответствие $ f$ сопоставляет каждому такому отрезку $ CD$ его длину $ f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка-- число, то $ f$-- числовая функция, $ f:A\to\mathbb{R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$.

Замечание 1.2 В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $ f$, область определения которых $ \mathcal{D}(f)$ также является подмножеством числовой прямой $ \mathbb{R}$, то есть такими функциями $ f:A\to B$, где $ A\sbs\mathbb{R}$ и $ B\sbs\mathbb{R}$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых-- подмножество в пространстве $ \mathbb{R}^n$, равном прямому произведению $ n$ экземпляров множества $ \mathbb{R}$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

Определение 1.5 Графиком функции $ f:A\to B$ называется множество пар $ (x;y)$ элементов $ x\in A$ и $ y\in B$, такое, что в каждой паре $ (x;y)$ второй элемент $ y$-- это значение функции $ f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $ x$.
Рассмотрим множество всевозможных пар $ (x;y)$, где $ x\in A$, $ y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $ A$ на множество $ B$ и обозначается $ A\times B$.

Ясно, что график $ {\Gamma}_f$ функции $ f$-- это подмножество прямого произведения $ A\times B$:

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\sbs A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2-- подмножество в $ \mathbb{R}\times[-1;1]$; график примера 1.3-- подмножество в $ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$; оба графика примера 1.6-- подмножества в $ \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2$ (здесь мы ввели обозначение $ \mathbb{R}_+=[0;+\infty)$, которого будем придерживаться и далее).