[an error occurred while processing this directive]

Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.8 Пусть $ A$-- круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1-- границу круга) на числовой плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ x_1$ и $ x_2$, с центром в точке $ O(0;0)$. Функцию $ f$ в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $ (x_1;x_2)$ до центра. Таким образом, $ f(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, где $ x=(x_1;x_2)\in A\sbs R^2$.
Графиком $ {\Gamma}_f$ этой функции является подмножество прямого произведения $ A\times\mathbb{R}$. Это прямое произведение-- бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $ \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3$. Обозначим координаты точек в $ \mathbb{R}^3$ через $ x_1,x_2,y$. Тогда графику $ {\Gamma}_f$ принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $ y=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ и $ x_1^2+x_2^2\leqslant 1$.
Множество $ Г_f$ представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $ (0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.


Рис.1.7.График расстояния до точки $ O$-- это конус


Как мы видим, в случае, когда $ A$-- подмножество плоскости $ \mathbb{R}^2$, график числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$-- это подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$. Если же $ A$-- подмножество точек пространства $ \mathbb{R}^3$, то графиком числовой функции $ f:A\to\mathbb{R}$ будет подмножество $ {\Gamma}_f$ четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $ A\times\mathbb{R}\sbs\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^4$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график $ {\Gamma}_f$ описать каким-то иным способом.

Пример 1.9 Пусть $ A=\mathbb{R}^3$ и для каждой точки $ x=(x_1;x_2;x_3)\in\mathbb{R}^3$ значение функции $ f$ в этой точке-- это квадрат расстояния от $ x$ до точки $ O(0;0;0)$, то есть $ f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=\vert x\vert^2$. Тогда график $ {\Gamma}_f$-- это подмножество в $ \mathbb{R}^4$:
$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: y=x_1^2+x_2^2+x_3^2\}.$
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула $ y=x_1^2+x_2^2+x_3^2$ позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4: x_2=0, x_3=0\}$-- это парабола $ y=x_1^2$ в плоскости $ x_1Oy$, а сечение трёхмерным пространством $ \{(x_1,x_2,x_3,y)\in\mathbb{R}^4:y=0\}$-- это одна точка $ (0;0;0;0)$.

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного в примерах 1.1, 1.4 до задания функции формулой вида $ {y=f(x)}$ в примерах 1.2, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. Способ задания функции $ f:A\to B$ зависит от того, какова природа множеств $ A$ и $ B$ и как по заданному $ x\in A$ определяется $ {y=f(x)\in B}$. Выделим основные из этих способов.