дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Линейная зависимость векторов Векторная алгебра

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
Доказательство.
Пусть в системе векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ подсистема ${\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_m$ , ${m\leqslant k}$ , является линейно зависимой, то есть ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m=0$ , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_m{\bf a}_m+0{\bf a}_{m+1}+\ldots+0{\bf a}_k$ . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Доказательство. Пусть система состоит из вектора ${\bf a}_1$ . Линейная комбинация имеет вид ${\alpha}_1{\bf a}_1$ . Если ${{\bf a}_1=0}$ , то ${1\cdot{\bf a}_1=0}$ , то есть система линейно зависима. Если ${{\alpha}_1{\bf a}_1=0}$ и ${\alpha}_1\ne0$ , то ${{\bf a}_1={\alpha}_1^{-1}\cdot 0=0}$ .
Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.
Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Доказательство. Пусть векторы ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные. Если ${\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ . По предложению 10.7 система ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависима. Если векторы ${\bf a}_1,{\bf a}_2$ -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 ${\bf a}_3$ является линейной комбинацией векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2$ и по предложению 10.6 система векторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- линейно зависимая.
Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем ${\bf a}_1$ , является линейной комбинацией других векторов, ${\bf a}_2$ и ${\bf a}_3$ , ${{\bf a}_1={\alpha}_2{\bf a}_2+{\alpha}_3{\bf a}_3}$ . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы ${\bf a}_2,{\bf a}_3$ . Поэтому вектор ${\bf a}_1$ лежит в одной плоскости с векторами ${\bf a}_2,{\bf a}_3$ , то есть векторы ${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ -- компланарные.

Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.
Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему (предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима (предложение 10.7). Если первые три вектора-- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией (предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.
Определение 10.16 Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по векторам этой системы.
Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентноопределению 10.12.

Конечные графы и сети. Основные определения Вычисление длины дуги кривой Примеры решения и оформления задач контрольной работы
Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар
(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).
Исследование функции
Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.
Матрицы графов Примеры
Достижимость и связность.
Деревья и циклы
Элементы топологии
Открытые и замкнутые множества
Непрерывные отображения
Топологические произведения

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;