дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Вывод изображения на печать
Интегралы \| Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов \| Типовой расчет Интегралы при вычислении \| Windows Информатика \| Математика \| Функции Пределы \| Производная \| Графики \| Системы уравнений \| Матрицы Лекции Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Правило Крамера Теория и примеры

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при или рассматриваются в школе.
Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица исходной системы -- квадратная, порядка , и -- столбцы высоты . Предположим, что $\vert A\vert\ne0$ . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства (15.2) на $A^{-1}$ , получим
$\displaystyle A^{-1}Ax=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad Ex=A^{-1}b\quad\Rightarrow\quad x=A^{-1}b.$

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

Пакет для работы с графической информацией Corel DRAW Тригонометрическая подстановка Передача дискретных данных по линиям связи

$\displaystyle x=A^{-1}b.$

(15.3)

Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.
Введем следующие обозначения. Пусть ${{\Delta}=\vert A\vert}$ , ${\Delta}_i$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, ${i=1,2,\dots,n}$ :
$\begin{multline*} {\Delta}_1=\left\vert\begin{array}{cccc}b_{1}&a_{12}&\dots&a_... ...dotsfor{4}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&b_{n}\end{array}\right\vert. \end{multline*}$

        Теорема 15.1 (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными ${\Delta}\ne0$ , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами
$\displaystyle x_1=\frac{{\Delta}_1}{{\Delta}},\quad x_2=\frac{{\Delta}_2}{{\Delta}},\quad \dots,\quad x_n=\frac{{\Delta}_n}{{\Delta}}.$
        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле
$\displaystyle A^{-1}=\frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\do... ...\dots&A_{n2}\\ \hdotsfor{4}\\ A_{1n}&A_{2n}&\dots&A_{nn}\end{array}\right),$
где $A_{ij}$ -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что
$\displaystyle x= \frac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&\dots&... ..._n\\ \hdotsfor{1}\\ A_{1n}b_1+A_{2n}b_2+\ldots+A_{nn}b_n\end{array}\right).$
Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя ${\Delta}_1$ по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя ${\Delta}_2$ по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому ${x=\dfrac1{{\Delta}}\left(\begin{array}{c}{\Delta}_1\\ {\Delta}_2\\ \vdots\\ {\Delta}_n\end{array}\right)}$ , откуда и следует утверждение теоремы.

Элементы векторной алгебры Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика
Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Линейная зависимость векторов

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;