дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа
h1 align="CENTER">Интегрирование и дифференцирование, Примеры и упражнения
Пример 4.25 Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.
Данная функция-- композиция функции $ y=\cos u$ и линейной функции $ u=2x+\dfrac{\pi}{4}$. По формуле производной композиции получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_uu'_x=-\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(2x+\dfrac{\pi}{4})'= -\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})\cdot2=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{4}).$
Пример 4.26 Найдём производную функции $ y=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+1}$.
Применим формулу для производной частного: $ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. В нашем случае $ u=2x^2-1$ и $ v=2x^2+1$. Получим:
$\displaystyle y'=\dfrac{(2x^2-1)'(2x^2+1)-(2x^2+1)'(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}= \dfrac{4x(2x^2+1)-4x(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{8x}{(2x^2+1)^2}.$
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)
Пример 4.27 Найдём производную функции $ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$.
Наша функция имеет вид $ y=(\sin((\ln(x^2+4))^3))^2$, так что самой внешней является степенная функция $ y=u^2$, где $ u=\sin\ln^3(x^2+4)$. Затем следуют промежуточные функции $ v=(\ln(x^2+4))^3$, $ z=\ln(x^2+4)$, $ w=x^2+4$. В итоге имеем композицию $ y=u^2,\; u=\sin v,\; v=z^3,\; z=\ln w,\; w=x^2+4$. Последовательно пользуясь формулой производной композиции, получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_z\cdot z'_w\cdot w'_x,$
или
$\displaystyle y'_x=2u\cdot\cos v\cdot3z^2\cdot\dfrac{1}{w}\cdot2x,$
или
\begin{multline*} y'_x=2\sin\ln^3(x^2+4)\cdot\cos\ln^3(x^2+4)\cdot3\ln^2(x^2+4)... ...+4)}{x^2+4}= \dfrac{6x\ln^2(x^2+4)\sin(2\ln^3(x^2+4))}{x^2+4}. \end{multline*}
Пример 4.28 Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.
Сначала найдём первую производную:
$\displaystyle y'=(x^2e^{-2x})'=(x^2)'e^{-2x}+x^2(e^{-2x})'=2xe^{-2x}+x^2e^{-2x}\cdot(-2)= (2x-x^3)e^{-2x}.$
Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:
\begin{multline*} y''=(y')'=(2x-x^3)'e^{-2x}+(2x-x^3)(e^{-2x})'=\\ (2-3x^2)e^{-2x}+(2x-x^3)e^{-2x}(-2)=(2-3x^2-4x+2x^3)e^{-2x}. \end{multline*}
Ответ: $ y''=(2x^3-3x^2-4x+2)e^{-2x}$.
Пример 4.29 Найдём производную функции $ y(x)$, заданной параметрически:
$\displaystyle x=e^t+1; y=e^{2t}-1.$
Найдём сначала производные от $ x$ и $ y$ по переменной $ t$:
$\displaystyle x'_t=e^t,\quad y'_t=e^{2t}\cdot2=2e^{2t}.$
Затем найдём $ y'_x$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:
$\displaystyle y'_x=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t.$
Заметим, что $ 2e^t=2(x-1)$, так что можно получить явное выражение $ y'_x$ через $ x$:
$\displaystyle y'_x=2(x-1).$
(Это не удивительно, поскольку легко было заметить с самого начала, что $ y=(x-1)^2-1$, откуда $ y'=2(x-1)-0=2(x-1)$.)
Ответ: $ y'_x=2e^t=2(x-1).$
Пример 4.30 Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:
$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$
Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:
$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t} {\cos t^3\cdot3t^2}= -\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$
Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и
$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}% {9t^2\cos^2t^3}.$
Поэтому
\begin{multline*} y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}= -\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co... ...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}% {27t^4\cos^3t^3}. \end{multline*}
Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).
Пример 4.31 Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой
$\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$
Найдём производную $ y'_x$.
Продифференцируем обе части равенства по $ x$, считая при этом $ y$ промежуточной переменной, зависящей от $ x$:
$\displaystyle 3x^2y+x^3y'_x+y^2+x\cdot2yy'_x+3y^2y'_x-3+5y'_x=0.$
Оставим в левой части слагаемые, содержащие $ y'_x$, а остальные перенесём в правую часть:
$\displaystyle y'_x(x^3+2xy+3y^2+5)=-3x^2y-y^2+3,$
откуда
$\displaystyle y'_x=\dfrac{3-3x^2y-y^2}{x^3+2xy+3y^2+5}.$
Упражнение 4.8 Найдите производную справа при $ x=0$ от функции $ {f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}}$, если её доопределить при $ x=0$ так, чтобы она стала непрерывной справа в этой точке (покажите, что для этого нужно положить $ f(0)=\dfrac{\pi}{2}$).
Найдите также производную слева при $ x=0$, доопределив $ f(x)$ до непрерывности слева в этой точке.
Ответ: и та, и другая односторонние производные существуют и равны 0.
Упражнение 4.9 Найдите производные функций $ f(x)=\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$, $ g(x)=x\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$. Доопределите $ g(x)$ в точке 0 по непрерывности и отыщите при $ {x=0}$ левую и правую производные этой функции. Доопределите функцию $ f(x)$ двумя способами: так, чтобы она была непрерывна при $ {x=0}$ слева, и так, чтобы она была непрерывна справа. Для каждого из способов найдите в точке $ {x=0}$ соответствующую одностороннюю производную.

Элементы векторной алгебры Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.   Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  Линейная зависимость векторов

 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;