дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

 

     Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы $ A$ равен рангу расширенной матрицы $ A^*$ .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел $ {({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через $ a_i$ $ i$ -ый столбец матрицы $ A$ , $ {i=1,2,\dots,n}$ . Тогда $ {{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . Пусть $ {r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 $ {{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в $ A^*$ базисный минор $ M$ . Он имеет порядок $ {r+1}$ . Столбец $ b$ свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы $ A$ . Столбец свободных членов в миноре $ M$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) $ {M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где $ M_i$  -- определитель, который получается из минора $ M$ заменой столбца свободных членов на столбец $ a_i$ . Если столбец $ a_i$ проходил через минор $ M$ , то в $ M_i$ , будет два одинаковых столбца и, следовательно, $ {M_i=0}$ . Если столбец $ a_i$ не проходил через минор $ M$ , то $ M_i$ будет отличаться от минора порядка $ {r+1}$ матрицы $ A$ только порядком столбцов. Так как $ {{\rm Rg}A=r}$ , то $ {M_i=0}$ . Таким образом, $ {M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор $ M$ матрицы $ A$ является базисным минором матрицы $ A^*$ . Пусть через минор $ M$ проходят столбцы $ {a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице $ A^*$ столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$(15.6)
 


Положим $ {x_{i_1}={\alpha}_1}$ , $ {x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $ \dots$ , $ {x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$

В силу равенства (15.6) $ {x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) $ {{\rm Rg}A=1}$ ,$ {{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить $ {\rm Rg}A$ и $ {\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.         
 
 

Элементы векторной алгебры Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.   Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  Линейная зависимость векторов

 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;