дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

В этом разделе мы рассмотрим некоторые утверждения, касающиеся функций, которые во всех точках данного множества имеют производную. Такие функции называются дифференцируемыми на данном множестве.

Первая теорема имеет вспомогательный характер для дальнейшего, хотя важна и сама по себе.

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором множестве $ \mathcal{D}$, и $ E\sbs\mathcal{D}$. Назовём точку $ x_0\in E$ точкой максимума функции $ f$ на множестве $ E$, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$, и точкой минимума, если при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$.

Точка $ x_0$, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

        Теорема 5.1 (Ферма)   Пусть функция $ f(x)$ имеет на множестве $ E$ точку экстремум а $ {x_0\in E}$, причём множество $ E$ содержит некоторую $ {\delta}$-окрестность $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ точки $ x_0$. Тогда либо $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную, равную 0, то есть $ f'(x_0)=0$, либо производная в точке $ x_0$ не существует.

Рис.5.1.Поведение функции в окрестности точки экстремума

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)



        Замечание 5.1   Заметим, что условие $ f'(x_0)=0$ означает, что тангенс угла $ {\alpha}$ наклона касательной к графику $ y=f(x)$, проведённой при $ x=x_0$, равен 0. Отсюда $ {{\alpha}=0}$, то есть теорема Ферма утверждает, что касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

        Доказательство теоремы Ферма.     Если производная в точке экстремума не существует, то утверждение теоремы верно. Предположим, что производная $ f'(x_0)$ существует. Рассмотрим два случая.

Пусть функция имеет в точке $ x_0$ максимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\leqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\leqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. При вычислении производной мы переходим к пределу при $ {\Delta}x\to0$ в этом разностном отношении. При этом знак нестрогого неравенства сохраняется, когда мы берём предел справа:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Отсюда, вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Итак, выполняются два неравенства: $ f'(x_0)\leqslant 0$ и $ f'(x_0)\geqslant 0$, что возможно лишь при $ f'(x_0)=0$.

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ минимум. Тогда $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)\geqslant 0$ при всех $ x\in E_{{\delta}}$, поскольку $ f(x)\geqslant f(x_0)$. Если взять $ x>x_0, x\in E_{{\delta}}$, то $ {\Delta}x=x-x_0>0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0$. Переходя к пределу при $ {\Delta}x\to0+$ в разностном отношении, получаем:

$\displaystyle f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0+}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\geqslant 0.$
Аналогично, при $ x<x_0, x\in E_{{\delta}}$, $ {\Delta}x=x-x_0<0$, и поэтому $ \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0$. Вычисляя предел слева, получаем:
$\displaystyle f'(x_0)=f'_-(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0-}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}\leqslant 0.$
Из неравенств $ f'(x_0)\geqslant 0$ и $ f'(x_0)\leqslant 0$ получаем, что $ f'(x_0)=0$.     
      
 

Элементы векторной алгебры Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.   Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  Линейная зависимость векторов

 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;