дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

  Теорема 5.4 (Коши)   Пусть функции $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$ дифференцируемы на интервале $ ({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $ t={\alpha}$ и $ t={\beta}$, причём $ {\varphi}'(t)\ne0$ при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$. Тогда в интервале $ ({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка $ t_0$, что
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
        Доказательство.     Докажем сначала, что $ {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:
$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$
при некотором $ {\gamma}\in({\alpha};{\beta})$. Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.
Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию
$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} ({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$
Функция $ \eta(t)$, очевидно, является дифференцируемой при всех $ t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках $ {\alpha}$ и $ {\beta}$, поскольку этими свойствами обладают функции $ {\varphi}$ и $ \psi$. Кроме того, очевидно, что при $ t={\alpha}$ получается $ \eta({\alpha})=0$. Покажем, что и $ \eta({\beta})=0$:
$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\... ...hi}({\alpha}))= \psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$
Значит, функция $ \eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $ t_0\in({\alpha};{\beta})$, что $ \eta'(t_0)=0$.
Вычислим теперь производную функции $ \eta(t)$:
$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t).$
Получаем, что
$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t_0),$
откуда получаем утверждение теоремы:
$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$
    
        Замечание 5.4   Можно считать функции $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости $ xOy$ точки, которая описывает линию $ L$, соединяющую начальную точку $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. (Тогда уравнения $ x={\varphi}(t)$ и $ y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость $ y(x)$, графиком которой служит линия $ L$.)
Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $ \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $ ({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $ ({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$. В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$. Значит, дробь $ \dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии $ L$ в некоторой точке $ ({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$. Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии $ L$ найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия $ L$ была задана явной зависимостью $ y=f(x)$, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.     

Элементы векторной алгебры Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика, физика

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.   Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  Линейная зависимость векторов

 

Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;