[an error occurred while processing this directive]

Многочлен Тейлора


Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline}
P(x)=
a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\
+a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0
\end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline}
P'(x)=
na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\
+\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1.
\end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline}
P''(x)=
n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\
+(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2.
\end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$   
 


при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$   
 


Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

 

 Примеры:

3 имеет ровно 2 делителя: 1 и 3, по опр. 2.1. оно простое.

4 имеет своими делителями 1, 4 и 2, по опр. 2.2. число 4 – составное.

Замечание 2.3. В соответствии с опр. 2.1. и опр. 2.2. все

множество целых положительных чисел можно разбить на три подмножества:

простые числа

составные числа

1.

 Замечание 2.4. Существует единственное простое четное число – 2. Все остальные четные числа являются составными.

 Перечислим свойства простых чисел.

Теорема 2.5. Если р и р1 – простые числа и рр1, то р не делится на р1 .

Теорема 2.6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р.

Теорема 2.7. Для любого целого положительного числа n>1 наименьший, отличный от единицы положительный делитель всегда представляет собой простое число.

Теорема 2.8.(основная теорема арифметики)

Всякое целое положительное число, отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и при том единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).

 Таким образом, если m – целое положительное число, а р1, р2, …рк- простые, то

 m =.

Если среди чисел р1, р2, …, рк есть одинаковые, то

 m =- каноническое представление целого числа.

 Из доказательства теоремы следует алгоритм разложения любого целого положительного числа в произведение простых сомножителей:

 Пусть m – целое положительное число, отличное от единицы.

Если это число четное, то разделим его на первое простое число 2. Если полученное частое остаётся четным числом, поделим и его на 2, и т.д., пока в частном не получится число нечетное.

Если число m – нечетное, то если это, возможно, делим его на следующее простое число 3. Частое от этого деления делим на три, если это возможно, если нет то

Делим полученное частное на следующее простое число и т.д., пока в частном не получится простое число.