[an error occurred while processing this directive]

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Разность между функцией $ f(x)$ и её многочленом Тейлора называется $ n$-м остатком, или $ n$-м остаточным членом; обозначим этот остаток через $ R_n(x)$:

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-P(x).$

Формула $ f(x)=P(x)+R_n(x)$, в более развёрнутой форме имеющая вид

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x),$

называется формулой Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, а представление функции $ f(x)$ в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток $ R_n(x)$ мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

$\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,$

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции $ f(x)$.

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка $ R_n(x)$ в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

        Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть $ R_n(x)$ -- остаток в формуле Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, и функция $ f(x)$ имеет непрерывную $ (n+1)$-ю производную. Тогда $ R_n(x)$ -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как $ (x-x_0)^{n+1}$, при $ x\to x_0$. (Остаточный член $ R_n(x)$, о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=L.$

При $ L\ne0$ остаток $ R_n(x)$ будет иметь тот же порядок малости, что $ (x-x_0)^{n+1}$, а при $ L=0$ -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=
 \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-P(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots-
 \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}.$   
 


Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём $ n$ раз:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2-\ldots-
 \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}{(x-x_0)^{n+1}}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-\ldots-
 \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}}{(n+1)(x-x_0)^n}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f''(x)-f''(x_0)-f'''(x_0)(x-x_0)-\ldots-
 \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}}{(n+1)n(x-x_0)^{n-1}}=$   
$\displaystyle =\ldots=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2(x-x_0)}=$   
$\displaystyle =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{
 f^{(n+1)}(x)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}=
 \dfrac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)n(n-1)\ldots2\cdot1}=L.$   
 


Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению $ f^{(n+1)}(x)$ -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от $ x_0$ значения $ P(x)$ будут отклоняться от $ f(x)$ не более чем на величину $ (n+1)$-го порядка малости относительно разности $ x-x_0$, что даёт нам уверенность в том, что замена $ f(x)$ на многочлен Тейлора $ P(x)$ будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения $ n$. Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка $ R_n(x)$. Этот пробел устраняет следующая теорема.