дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

  Упражнение 6.1   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=\ln(1+x)$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots+ (1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x).$
    
        Упражнение 6.2   Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции $ f(x)=(1+x)^{{\alpha}}$ при фиксированном $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Вычислите значения этих производных при $ x_0=0$ и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение
$\displaystyle (1+x)^{{\alpha}}=1+{\alpha}x+\frac{{\alpha}({\alpha}-1)}{1\cdot2}... ...alpha}({\alpha}-1)\ldots({\alpha}-n+1)}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}x^n+ R_n(x).$
    
        Упражнение 6.3   Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ выглядят так:
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots+ \dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x)$
и
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots+ \frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$
Сравните найденные разложения с разложениями для $ \sin x$, $ \cos x$ и $ e^x$.     

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

        Пример 6.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,
$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём $ z=x^2$:
$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2). $
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:
$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!} +xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.     

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        Пример 6.2   Найдём предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}.$
Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:
$\displaystyle e^x-1-x=-1-x+1+x+\frac{x^2}{2}+r_3(x)= \frac{x^2}{2}+r_3(x),$
где через $ r_3(x)$ обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и $ x^3$. Разложение для знаменателя имеет вид:
$\displaystyle \sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}=(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+s_3(x))- (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+t_3(x)),$
где остаточные члены $ s_3(x)$ и $ t_3(x)$ тоже имеют тот же порядок малости, что и $ x^3$, при $ x\to0$. Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен
$\displaystyle -(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x).$
Итак,
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}}= \lim_{x\to0}\dfrac{\frac{x^2}{2}+r_3(x)} {-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})x^2+s_3(x)-t_3(x)}=$   
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{r_3(x)}{x^2}} {-(\frac{1}{... ...rac{s_3(x)-t_3(x)}{x^2}}= \dfrac{\frac{1}{2}}{-(\frac{1}{8}+\frac{1}{24})}=-3.$   
 

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.

 

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях Ролинс.ру - автоматика nice для распашных ворот новости сайт Москва и область;