[an error occurred while processing this directive]

Функции и их графики Первый способ задания функции: табличный

   Пример 1.11   В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров $ P_1$ и $ P_2$ каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называются стратегиями) партнёров конечны: $ P_1$ может выбирать одну из стратегий из множества $ {\mathrm A}=\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_m\}$, а $ P_2$ -- из множества $ {\mathrm B}=\{{\beta}_1,\dots,{\beta}_n\}$. Если $ P_1$ выбрал стратегию $ {\alpha}_i\; (i=1,...,m)$, а $ P_2$ -- стратегию $ {\beta}_j\; (j=1,...,n)$, то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу $ u_{ij}=f_1({\alpha}_i,{\beta}_j)$, а у второго -- числу $ v_{ij}=f_2({\alpha}_i,{\beta}_j)$. Рассмотрим функцию $ f: {\mathrm A}\times{\mathrm B}\to\mathbb{R}^2$, такую что
$\displaystyle f:({\alpha}_i,{\beta}_j)\mapsto(f_1({\alpha}_i,{\beta}_j),f_2({\alpha}_i,{\beta}_j))=(u_{ij},v_{ij}).$
Эта функция называется функцией выигрышей или платёжным отображением игры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида
$ {\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$$ {\beta}_1$$ {\beta}_2$$ \dots$$ {\beta}_n$
$ {\alpha}_1$$ (u_{11},v_{11})$$ (u_{12},v_{12})$$ \dots$ $ (u_{1n},v_{1n})$
$ {\alpha}_2$$ (u_{21},v_{21})$$ (u_{22},v_{22})$$ \dots$$ (u_{2n},v_{2n})$
$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$$ \dots$
$ {\alpha}_m$$ (u_{m1},v_{m1})$$ (u_{m2},v_{m2})$$ \dots$$ (u_{mn},v_{mn})$

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел $ (u_{ij},v_{ij})$, или же задав две числовые матрицы $ f_1$ и $ f_2$ размера $ m\times n$:
$\displaystyle f_1=\begin{pmatrix}
u_{11}&u_{12}&\dots&u_{1n}\\
u_{21}&u_{22}...
...\\
\dots &\dots &\dots&\dots\\
v_{m1}&v_{m2}&\dots&v_{mn}
\end{pmatrix}.
$

 

В задачах 21 – 30 составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; в – малая (мнимая) полуось; e - эксцентриситет; y = ± kx – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

21.

а) в = 15,

F (-10,0);

б) а = 13,

в)

22.

а) в = 2,

F (4√2;0);

б) а = 7,

в)

23.

а) А (3;0),

б)

в)

24.

а) а = 4,

F (3,0);

б)

F (-11,0);

в)

25.

а) а = 6,

F (-4,0);

б) в = 3,

F (7,0);

в)

26.

а) в = 7,

F (5,0);

б) а = 11,

в)

27.

а)

А (0;8);

б)

в)

28.

а) в = 5,

б)

2а = 6;

в) ось симметрии Oy и А (-9;6);

29.

а) в = 5,

F (-10,0);

б) а = 9,

в)

30.

а) 2а = 22,

б)

2с = 12;

в) ось симметрии Ox и А (-7;5);

В задачах 31 – 40 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.

31.

А (4,2,5),

В (0,7,1),

С (0,2,7),

D (1,5,0).

32.

А (4,6,5),

В (6,9,4),

С (2,10,10),

D (7,5,9).

33.

А (7,7,3),

В (6,5,8),

С (3,5,8),

D (8,4,1).

34.

А (2,-3,1),

В (6,1,-1),

С (4,8,-9),

D (2,-1,2).

35.

А (1,-4,0),

В (5,0,-2),

С (3,7,-10),

D (1,-2,1).

36.

А (-3,4,-3),

В (-2,2,-1),

С (8,6,7),

D (5,8,3).

37.

А (3,1,-2),

В (4,-1,0),

С (14,3,8),

D (11,5,6).

38.

А (-2,0,-2),

В (2,4,-4),

С (0,11,-12),

D (-2,2,-1).

39.

А (0,4,5),

В (3,-2,1),

С (4,5,6),

D (3,3,2).

40.

А (2,-1,7),

В (6,3,1),

С (3,2,8),

D (2,-3,7).

В задачах 41 – 50 задана линия  в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от  до  и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

В задачах 51 – 60 дано комплексное число Z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найти все корни уравнения

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.