дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования


Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}_1}\in(x_0-h;x_0)$. Вычтем из первой формулы вторую:

$\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0-h)=f'(x_0)\cdot2h+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\dfrac{1}{12}\left( f'''(x_{{\theta}})- f'''(x_{{\theta}_1})\right)h^2.$

Если теперь предположить, что

$\displaystyle \max_{x\in[a;b]}\vert f'''(x)\vert=M_3,$

то оценка погрешности получится такая:

        Упражнение 6.4   Исследуйте приближённую формулу $\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert=\vert f'(x_0)-\dfrac{f(x_0+h)-f(x_... ...)\vert+\vert f'''(x_{{\theta}_1})\vert\right)h^2\leqslant \dfrac{1}{6}M_3h^2.$

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0-2h)-8f(x_0-h)+8f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h}.$

Какая степень приращения $ h$ будет множителем в оценке ошибки $ {\varepsilon}(x_0;h)$? Оценки каких производных войдут в формулу для оценки ошибки?     

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях Друг сказал skype скачать бесплатно самую новую версию сейчас;