[an error occurred while processing this directive]

Формула ТейлораУпражнения

        Упражнение 6.5   Найдите разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$ функций
а) $ f(x)=e^{-x}$;
б) $ f(x)=e^{3x}$;
в) $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$;
г) $ f(x)=\sin x^2$;
д) $ f(x)=\cos3x$;
е) $ f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$;
ж) $ f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$;
з) $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Ответы:

а) $ e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+
R_n(x)$;

б) $ e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+
(-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$;

в) $ e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}-
\dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$;

г) $ \sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+
(-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$;

д) $ \cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+
(-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

е) $ \mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+
\frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$;

ж) $ \dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$;

з) $ \sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+
\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+
\dfrac{1\cdot3\...
...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+
R_{2k+1}(x)$.     

        Упражнение 6.6   Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$;
б) $ \lim\limits_{x\to0}
\dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$.

Ответы:
а) $ -\frac{1}{9}$;
б) $ -\frac{1}{4}$.     

4. Если производная больше, то функция убывает на этом интервале.

5. Если при переходе точки «подозрительной» на экстремум производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум.

6. Если при переходе точки «подозрительной» на экстремум производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке функция имеет минимум.

7. Если производная знак не меняет, то экстремума в данной точке нет.

Пример исследования функции и построение ее графика

1. Область определения функции является множество действительных чисел.

2. Функция нечетная

3. Функция не является периодической. Предположим, что

следовательно

отсюда 

Так как период не равен нулю (по определению) и не зависит от аргумента х, то у данной функции нет периода.