[an error occurred while processing this directive]

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ называется вертикальная прямая $ x=a$, если $ f(x)\to+\infty$ или $ f(x)\to-\infty$ при каком-либо из условий: $ x\to a+$, $ x\to a-$, $ x\to a$. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка $ a$ принадлежала области определения функции $ f(x)$, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: $ (a-{\delta};a)$ или $ (a;a+{\delta})$, где $ {\delta}>0$.     
        Пример 7.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x-1}$. График $ y=f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $ x=1$, поскольку при $ x\to1+$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to+\infty$, а также при $ x\to1-$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to-\infty$.     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\frac{1}{x-1}$

Функция y = x3

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х3 называется кубической параболой.

Свойства функции y = x3.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в пер­вом и третьем координатном углах.

3.  Множеством значений функции у =  х3 является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отлича­ются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х3 - нечетная).

4.      Функция у = х3 возрастающая в об­ласти определения.

5.      Функция y = |x|

Область определения этой функции - множество R  действитель­ных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.


        Пример 7.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$. Её график имеет вертикальную асимптоту $ x=0$, так как $ e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$ при $ x\to0+$. То, что при $ x\to0-$ функция $ f(x)$ не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая $ x=0$ являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, $ e^{\frac{1}{x}}\to0+$ при $ x\to0-$.)     

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$

        Пример 7.3   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$. Прямая $ x=0$ является вертикальной асимптотой графика $ y=f(x)$, так как $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0+$. Заметим, что слева от точки $ x=0$ функция вообще не определена.     

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$

      

Тяжелый авианесущий крейсер &#171;Ульяновск&#187;