[an error occurred while processing this directive]

Асимптоты графика функции

 Пример 7.4   График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при $ x=0$ вертикальной асимптоты, так как $ f(x)$ -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $ x\to0$ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $ g(x)=\dfrac{1}{x}$ -- имеет вертикальную асимптоту $ x=0$.     

Рис.7.4.График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты

        Пример 7.5   Прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой графика функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$, поскольку здесь нельзя утверждать, что при $ x\to0-$ или $ x\to0+$ функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $ \vert x\vert$ значения $ \vert f(x)\vert$ могут быть как угодно велики, однако при других малых $ \vert x\vert$ функция обращается в 0: так, при $ x=\pm\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны $ \dfrac{1}{x}$ и стремятся к бесконечности при $ n\to\infty$, а при всех $ x$ вида $ x=\pm\dfrac{1}{n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки $ x$ при увеличении $ n$ попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция $ f(x)$ не является бесконечно большой при $ x\to0\pm$, и прямая $ x=0$ -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты

Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции $ {y=f(x)}$ при $ {x\to+\infty}$ называется прямая $ y=kx+b$, если выполнены два условия:
1) некоторый луч $ (a;+\infty)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to+\infty$:

Наклонной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ при $ x\to-\infty$ называется прямая $ y=kx+b$, если
1) некоторый луч $ (-\infty;a)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to-\infty$:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$
    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при $ k=0$, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $ y=c=\mathrm{const}$ является горизонтальной асимптотой графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$, если

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=с$
или
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=с$
соответственно.
      

Атомные энергетические установки в корабельной энергетике