[an error occurred while processing this directive]

Асимптоты графика функции

  Пример 7.6   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. График этой функции имеет наклонную асимптоту $ y=\dfrac{x}{2}$ при $ x\to+\infty$. Действительно,
$\displaystyle f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ при $\displaystyle x\to+\infty.$
Однако эта функция не определена ни на каком луче вида $ (-\infty;a)$, так что её график не может иметь асимптоты при $ x\to-\infty$.     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

        Пример 7.7   График функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$ имеет горизонтальную асимптоту $ y=1$ как при $ x\to+\infty$, так и при $ x\to-\infty$, поскольку, очевидно, $ f(x)\to1$ при $ x\to\pm\infty$. Можно сказать также, что асимптота при $ x\to-\infty$ у этого графика совпадает с асимптотой при $ x\to+\infty$.     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$

Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:

        Определение 7.3   Линия $ y={\varphi}(x)$ называется асимптотической линией графика функции $ f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$), если обе эти функции определены на некотором луче $ (a;+\infty)$ (или луче $ (-\infty;a)$) и разность ординат графиков стремится к 0 при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$, соответственно).     

Если функция $ {\varphi}(x)$ -- линейная, то есть график $ y={\varphi}(x)$ -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

        Пример 7.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$. При $ x\to\pm\infty$ график этой функции имеет асимптотическую линию $ y=x^2$, поскольку разность между $ f(x)$ и $ {{\varphi}(x)=x^2}$, равная, очевидно, $ \frac{1}{x}$, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$.     

Рис.7.9.Асимптотическая линия $ y=x^2$ графика функции $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

        Замечание 7.1   Функции $ {\varphi}(x)$ и $ f(x)$ входят в определение асимптотической линии симметрично: если график $ y={\varphi}(x)$ -- асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$, то и $ y=f(x)$ -- асимптотическая линия для $ y={\varphi}(x)$. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     
       

Пример: Вычислить предел функции  

Решение.

1.

В числителе и знаменателе стоят функции бесконечно малые при.

Для функции стоящей в числителе дополнительный множитель имеет вид:

 , т. к.

получим рациональное выражение. Выражение стоящее в знаменателе раскладываем на множители

2.

Функция, стоящая в знаменателе не является бесконечно малой при .

Ответ:

эротический чат