дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Показательная форма комплексного числа

Пример 17.7 Пусть $ z=-1+i$ . Напишите показательную форму числа $ z$ .
Решение. Находим модуль и аргумент числа:
$\displaystyle r=\vert z\vert=\sqrt2,\quad {\varphi}=\arg z=\frac{3\pi}4.$
Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:
$\displaystyle z=\sqrt2e^{\frac{3\pi}4i}.$

Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме
$\displaystyle z=2e^{\frac{\pi}6i}.$
Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
$\displaystyle z=2\left(\cos\frac{\pi}6+i\sin\frac{\pi}6\right)=2\left(\frac{\sqrt3}2+ i\frac12\right)=\sqrt3+i.$
Итак, алгебраическая форма числа: $ {z=\sqrt3+i}$ .

С помощью формулы Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента. Пусть $ {z=x+iy}$ . Тогда

$\displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$

Например,

$\displaystyle e^{2+\frac{5\pi}6i}=e^2\left(\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6\right)= -e^2\frac{\sqrt3}2+\frac{e^2}2i.$

Заменим в формуле Эйлера $ {\varphi}$ на $ -{\varphi}$ . Получим:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos(-{\varphi})+i\sin(-{\varphi}).$

С учетом свойств тригонометрических функций имеем:

$\displaystyle e^{-i{\varphi}}=\cos{\varphi}-i\sin{\varphi}.$

Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:

$\displaystyle e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}=2\cos{\varphi}.$

Откуда

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}+e^{-i{\varphi}}}2.$(17.11)


Аналогично, с помощью вычитания, можно получить формулу

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{e^{i{\varphi}}-e^{-i{\varphi}}}{2i}.$(17.12)


С помощью формулы для косинуса вычислим, например, $ \cos(5i)$ :

$\displaystyle \cos(5i)=\frac{e^{i(5i)}+e^{-i(5i)}}2=\frac{e^{-5}+e^5}2 \approx 74.21.$

Таким образом, в комплексной области модуль косинуса может быть и больше 1. Более того, в комплексной области функции $ \cos z$ и $ \sin z$ , определяемые с помощью формул(17.11) и(17.12), являются неограниченными функциями. Действительно, из этих формул мы получаем:

$\displaystyle \cos{\varphi}=ch(i{\varphi}),\quad \sin{\varphi}=-i sh(i{\varphi})$ (17.13)

Так как гиперболические косинус и синус являются неограниченными функциями, то и тригонометрические функции косинус и синус являются неограниченными функциями (в комплексной области).

Отметим также, что формулы(17.13) объясняют, почему для гиперболических функций многие соотношения очень похожи на соотношения между тригонометрическими функциями, например, основное тригонометрическое тождество, формулы двойного аргумента.

 

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;