дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций
Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Очевидно, что функция $ f(x)$ возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция $ g(x)=-f(x)$; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций $ f(x)$ и $ g(x)=-f(x)$

        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и $ {f'(x)>0}$ при всех $ x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$. Если же $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
Аналогично, если $ f'(x)<0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ убывает на $ (a;b)$, а если $ f'(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не возрастает на $ (a;b)$.

 

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев $ f'(x)>0$ и $ f'(x)\geqslant 0$. Пусть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in(a;b)$ и $ x_1,x_2\in(a;b)$, $ x_1<x_2$. Применим к отрезку $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений:

 

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$

 

где $ c\in(a;b)$. В правой части $ f'(c)>0$ и $ x_2-x_1>0$, так что $ f(x_2)-f(x_1)>0$, откуда $ f(x_1)<f(x_2)$, что означает возрастание функции.

Точно так же, если $ f'(x)\geqslant 0$, то получаем $ f(x_2)-f(x_1)\geqslant 0$, откуда $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$, что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

        Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале $ (a;b)$, то $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$; если же функция не возрастает на $ (a;b)$, то $ f'(x)\leqslant 0$ при $ x\in(a;b)$.

 

        Доказательство.     Фиксируем точку $ x_0\in(a;b)$ и рассмотрим предел, который равен производной:

 

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

 

При достаточно малых $ h>0$ точка $ x_0+h$ попадёт в интервал $ (a;b)$, при этом $ x_0+h>x_0$, откуда $ f(x_0+h)\geqslant f(x_0)$. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем $ f'(x_0)\geqslant 0$, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.     

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$ не следует строгого неравенства $ f'(x)>0$ для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

     

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях чтобы смотреть кино на компе вам нужно скачать торрент бесплатно для сетей p2p.;