дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения
$\displaystyle z^n=w,$(17.14)

где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n] w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$ . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если $ {w=0}$ , то $ {z=0}$ . Пусть $ {w\ne0}$ . Запишем число $ w$ в тригонометрической форме: $ {w=\rho(\cos\psi+i\sin\psi)}$ . Здесь $ \rho$ и $ \psi$  -- известные величины. Запишем неизвестное число $ z$ в тригонометрической форме: $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Здесь $ r$ и $ {\varphi}$  -- неизвестны. По формуле Муавра

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi}).$
Таким образом,

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

$\displaystyle r^n(\cos n{\varphi}+i\sin n{\varphi})=\rho(\cos\psi+i\sin\psi).$
Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому $ {r^n=\rho}$ . В этом соотношении $ r$ и $ \rho$  -- положительные числа, следовательно $ {r=\sqrt[n]{\rho}}$ , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную $ {2\pi}$ . Поэтому $ {n{\varphi}=\psi+2\pi k}$ , $ {k\in\mathbb{Z}}$ . Отсюда находим, что

$\displaystyle {\varphi}=\frac{\psi+2\pi k}n.$
В итоге получили:
$\displaystyle z=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\psi+2\pi k}n+i\sin\frac{\psi+2\pi k}n \right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.$(17.15)

Значения $ k$ , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения $ z$ , которые можно получить при $ {k=0,1,\ldots,n-1.}$
    


Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;