дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Функции графики Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

        Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.

        Теорема 7.4   Если точка $ x_0$ -- это точка локального экстремума функции $ f(x)$, и существует производная в этой точке $ f'(x_0)$, то $ f'(x_0)=0$.

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).    

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция $ f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $ x_0$, то либо
1) $ f'(x_0)=0$, либо Пакет для работы с графической информацией Corel DRAW Тригонометрическая подстановка Передача дискретных данных по линиям связи
2) производная $ f'(x_0)$ не существует.

Клоны и клонирование эффектов Электрические цепи переменного тока Международная организация по стандартизации (ISO)

Точка $ x_0$ называется критической точкой функции $ f(x)$, если $ f(x)$ непрерывна в этой точке и либо $ f'(x_0)=0$, либо $ f'(x_0)$ не существует. В первом случае (то есть при $ f'(x_0)=0$) точка $ x_0$ называется также стационарной точкой функции $ f(x)$.

Итак, локальный экстремум функции $ f(x)$ может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

        Пример 7.18   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4+2x^2+5$. Её производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$ и равна $ f'(x)=4x^3+4x$. Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением $ 4x^3+4x=0$. Это уравнение можно записать в виде $ 4x(x^2+1)=0$; оно имеет единственный корень $ x=0$: это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2+1)^2+4$, легко увидеть, что в стационарной точке $ x=0$ функция имеет минимум, равный $ (0^2+1)^2+4=5$.     

Рис.7.21.График функции $ y=x^4+2x^2+5$


        Пример 7.19   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2+5$. Как и в предыдущем примере, производная существует при всех $ x\in\mathbb{R}$; она равна $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: $ -1;0;1$.

Записав функцию в виде $ f(x)=(x^2-1)^2+4$, легко увидеть, что в точках $ x=\pm1$ функция имеет минимум, так как в этих точках выражение $ x^2-1$ обращается в 0, и

$\displaystyle f(x)=4+(x^2-1)^2\geqslant 4=f(\pm1).$

Если же мы запишем функцию в виде $ f(x)=5-x^2(4-x^2)$, то убедимся, что точка $ x=0$ -- точка локального максимума, поскольку при малых $ \vert x\vert$ выражение $ 4-x^2$ положительно, и

$\displaystyle f(x)=5-x^2(4-x^2)\leqslant 5=f(0).$

    

Рис.7.22.График функции $ y=x^4-2x^2+5$
 

    

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях У нас в продаже: продажа контейнерных азс, с доставкой, обращайтесь.;