[an error occurred while processing this directive]

Функции графики Достаточные условия локального экстремума


Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$. Если функция $ f(x)$ не убывает в некоторой левой окрестности $ E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)$ точки $ x_0$ и не возрастает в некоторой её правой окрестности $ E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума.

Если же функция $ f(x)$ не возрастает в некоторой левой окрестности $ {E_-=(x_0-{\delta}_1;x_0)}$ и не убывает в некоторой правой окрестности $ {E_+=(x_0;x_0+{\delta}_2)}$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума.

        Доказательство.     Если $ f(x)$ не убывает в $ E_-$, то $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ x\in E_-$, поскольку из непрерывности $ f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$. Точно так же, $ f(x_0)\geqslant f(x)$ при всех $ {x\in E_+}$. Выберем из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ наименьшее: $ {\delta}=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ и рассмотрим симметричную окрестность $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$. При $ x\in E$, очевидно, $ f(x)\leqslant f(x_0)$, то есть $ x_0$ -- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить $ f_1(x)=-f(x)$ и заметить, что функция $ f_1$ не убывает в $ E_-$ и не возрастает в $ E_+$; локальный максимум функции $ f_1$ соответствует локальному минимуму функции $ f$.     

        Замечание 7.4   Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке $ x_0$. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию $ f(x)$, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке $ x_0$, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2+x^2\sin^2\frac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

График этой функции зажат между двумя параболами $ y=x^2$ и $ y=2x^2$ и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что $ f(x)$ не монотонна ни на каком интервале вида $ (-{\delta};0)$ или $ (0;{\delta})$. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех $ x\ne0$ $ f(x)\geqslant x^2>0$.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2x+2x\sin^2\frac{1}{x}-\sin\frac{2}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Эта производная имеет в точке $ x=0$ разрыв второго рода.     

        Теорема 7.6   Пусть $ x_0$ -- критическая точка функции $ f(x)$, и у этой функции существует производная $ f'(x)$ в некоторой проколотой окрестности $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$. Если при этом в левой окрестности $ (x_0-{\delta};x_0)$ имеет место неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, а в правой окрестности $ (x_0;x_0+{\delta})$ -- неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство $ f'(x)\leqslant 0$, а в правой окрестности -- неравенство $ f'(x)\geqslant 0$, то точка $ x_0$ -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка $ x_0$ не является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства $ f'(x)\geqslant 0$ следует неубывание функции $ f(x)$, а из неравенства $ f'(x)\leqslant 0$ -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.     

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами


Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная $ f'(x)$ меняет знак с $ +$ на $ -$ при переходе через критическую точку $ x_0$, то в этой точке -- локальный максимум функции $ f(x)$; если знак производной меняется с $ -$ на $ +$, то в точке $ x_0$ -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через $ x_0$ не изменяется, то локального экстремума в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке $ x_0$ (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7   Пусть $ x_0$ -- стационарная точка функции $ f(x)$, и в этой точке существует вторая производная $ f''(x_0)$, причём $ f''(x_0)\ne0$. Тогда при $ f''(x_0)<0$ точка $ x_0$ есть точка локального максимума, а при $ f''(x_0)>0$ -- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку $ f''(x)=(f'(x))'$, то по определению производной

$\displaystyle f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}.$

Пусть $ f''(x_0)<0$. Тогда из существования предела следует, что для любого $ x\ne x_0$ из некоторой достаточно малой проколотой окрестности $ E=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

$\displaystyle \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0$

при $ x\in E$. Поскольку, по предположению теоремы, $ x_0$ -- стационарная точка, то $ f'(x_0)=0$, откуда $ \dfrac{f'(x)}{x-x_0}<0$, то есть $ f'(x)$ имеет знак, противоположный знаку $ x-x_0$: $ f'(x)>0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ f'(x)<0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что $ x_0$ -- точка локального максимума.

Доказательство для случая $ f''(x_0)>0$ совершенно аналогично.