дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Функции графики Достаточные условия локального экстремума


     Пример 7.24   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; решая уравнение $ 4x^3-4x=0$, находим стационарные точки функции $ f(x)$: это $ x_1=-1;x_2=0;x_3=1$. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: $ {f''(x)=12x^2-4}$. Отсюда $ {f''(x_1)=f''(-1)=12-4=8>0}$, следовательно, в точке $ x_1=-1$ функция $ f(x)$ имеет локальный минимум; то же в точке $ x_3=1$, поскольку $ f''(1)$ также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно $ f(\pm1)=1^4-2\cdot1^2=-1$.

В точке $ x_2=0$ получаем $ {f''(0)=12\cdot0^2-4=-4<0}$, поэтому в точке 0 функция $ f(x)$ имеет локальный максимум. Значение $ f(x)$ в этой точке равно 0.     


Рис.7.26.Три локальных экстремума функции $ f(x)=x^4-2x^2$


        Замечание 7.5   В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке $ x_0$ в случае, когда $ f''(x_0)=0$. В этом случае в точке $ x_0$ может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.     

        Пример 7.25   Функция $ f(x)=x^3$ имеет единственную стационарную точку $ {x_0=0}$. Вторая производная $ f''(x)=6x$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ не имеет экстремума в точке 0.     

Рис.7.27.Функция $ f(x)=x^3$ не имеет экстремума в стационарной точке 0


        Пример 7.26   Функция $ f(x)=x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Вторая производная $ f''(x)=12x^2$ принимает в этой точке значение 0, сама же функция $ f(x)$ имеет в точке 0 минимум.     

Рис.7.28.Функция $ f(x)=x^4$ имеет минимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


        Пример 7.27   Функция $ f(x)=-x^4$ также имеет единственную стационарную точку $ x_0=0$. Её вторая производная $ f''(x)=-12x^2$ принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция $ f(x)$ имеет в этой точке максимум.     

Рис.7.29.Функция $ f(x)=-x^4$ имеет максимум в стационарной точке 0, в которой $ f''(x)=0$


Для того, чтобы разобраться в поведении функции $ f(x)$ в такой стационарной точке $ x_0$, в которой $ f''(x_0)=0$, можно применить такую теорему:

        Теорема 7.8   Пусть функция $ f(x)$ имеет $ k$-ю производную в некоторой окрестности точки $ x_0$ и эта производная $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$. Предположим, что

$\displaystyle f'(x_0)=0,\;f''(x_0)=0,\;\dots,\;f^{(k-1)}(x_0)=0,\;f^{(k)}(x_0)\ne0.$

Тогда, если число $ k$ -- нечётное, то в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ не имеет локального экстремума; если же число $ k$ -- чётное, то при $ f^{(k)}(x_0)<0$ в точке $ x_0$ функция имеет локальный максимум, а при $ f^{(k)}(x_0)>0$ -- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложить $ f(x)$ по формуле Тейлора в точке $ x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

$\displaystyle f(x)=f(x_0)+\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k$

(где $ x_{{\theta}}$ лежит между $ x$ и $ x_0$), поскольку слагаемые со степенями бинома $ x-x_0$, меньшими $ k$, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x_0)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f=\dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}(x-x_0)^k.$

Поскольку $ f^{(k)}(x_0)\ne0$ и $ f^{(k)}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, то в некоторой окрестности точки $ x_0$ она сохраняет тот же знак, что у числа $ f^{(k)}(x_0)\ne0$, в частности, знак числа $ \dfrac{f^{(k)}(x_{{\theta}})}{k!}$ при $ x$, близких к $ x_0$, -- тот же, что у числа $ f^{(k)}(x_0)$.

Мы видим, что при нечётном $ k$ приращение $ {\Delta}f$ меняет знак при переходе через точку $ x_0$, поскольку меняет знак множитель $ (x-x_0)^k$ в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке $ x_0$ нет.

При чётном $ k$ этот множитель положителен при всех $ x\ne x_0$, следовательно, приращение $ {\Delta}f$ (при малых $ x-x_0\ne0$) имеет тот же знак, что и $ f^{(k)}(x_0)$: $ {\Delta}f<0$ при $ f^{(k)}(x_0)<0$ (неравенство $ {\Delta}f<0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального максимума) и $ {\Delta}f>0$ при $ f^{(k)}(x_0)>0$ (неравенство $ {\Delta}f>0$ означает, что $ x_0$ -- точка локального минимума).     

        Замечание 7.6   Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке $ x_0$ обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет стационарную точку $ x_0=0$, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку $ f^{(k)}(0)=0$ при всех $ k\in\mathbb{N}$. Однако очевидно, что $ f(x)>0$ при всех $ x\ne0$, так что $ x_0=0$ -- точка минимума функции $ f(x)$.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной $ k$-го порядка в точке $ x_0$, даже если эта производная существует при всех $ x$. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^4\left(2+\sin\frac{1}{x}\right),&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке $ x=0$. Производная этой функции существует при всех $ x$ и равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\left[4x\left(2+\sin\frac{1}{x... ...ac{1}{x}\right],&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

 

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;