[an error occurred while processing this directive]

Аналитическая геометрия Выпуклость функции


        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.
Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))$(7.4)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция $ f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при . Это означает, что
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})\geqslant \ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0)$(7.5)

при всех $ {\alpha}\in[0;1]$.     

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функций

 Теорема 4.8. Если  - каноническое разложение чисел a1, a2,…, an на простые множители, то

 =

 Теорема 4.9. Пусть - целые, , тогда .

 Определение 4.10. Числа а и b называются взаимно простыми, если НОД этих чисел равен 1.

 Теорема 4.11. Если a и p – целые числа, причем p-простое, то либо   , либо числа a и p взаимно просты.

 Теорема 4.12. НОК двух взаимно простых чисел равно их произведению.

 Теорема 4.13. Для того чтобы a делилось на взаимно простые числа b и c, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на их произведение.

 Теорема 4.14. Если , причем , то .

 

Задания для самостоятельного решения

Каким может быть наибольший общий делитель по сравнению с их разностью?

Доказать, что два последовательных нечетных числа взаимно простые.

Доказать, что наибольший общий делитель последовательных чётных чисел равен 2.

Доказать, что если даны три последовательных натуральных числа, то произведение двух последовательных чисел и третье число либо взаимно простые, либо имеют наибольшим общим делителем число 2.

Доказать, что если числа а и с взаимно простые, то каждое из этих чисел взаимно простое с суммой и разностью данных чисел.


Легко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$