[an error occurred while processing this directive]

Аналитическая геометрия Выпуклость функции Примеры


 Пример 7.28   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert$. Эта функция выпукла на любом интервале оси $ Ox$. Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики $ f(x)$ и $ \ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что $ f(x)$ одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале $ (a,b)$, то $ a<0$ и $ b>0$, и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.     

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $ y=\vert x\vert$

        Пример 7.29   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$; её график -- парабола $ y=x^2$.
Рис.7.32.Функция $ f(x)=x^2$ -- выпуклая

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале $ (a;b)$. Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:
$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2=
 {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2=
 {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$   

Здесь мы использовали известное неравенство: $ 2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $ x_1,x_0\in\mathbb{R}$.

Периодические функции

Определение. Функция у = f(x) называется периодической, если существует число такое, что для каждого значения аргумента х из области ее значения имеет место равенство

Число Т называют периодом функции.

Из определения следует, что числа (k = 0,±1,±2,...) также являются периодами.

Наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом.

Замечание 1. Если Т - основной период функции у = f(х), то число   является основным периодом функции

Замечание 2. Если  и  основные периоды функций  и  ( и  целые числа).

то наименьшее общее кратное также является периодом (не обязательно основным).

График периодической функции с основным периодом Т достаточно построить на любом отрезке длины Т, а затем сдвигать эту кривую вправо и влево на отрезки Т,2T,....