[an error occurred while processing this directive]

Аналитическая геометрия Выпуклость функции


        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция
$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$
Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.
        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.
Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

Действительно,
$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$   

    
        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что
$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant
\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$
Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:
$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$
Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:
$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$
Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:
$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$
то есть
$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$
Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.
Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     
        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:
функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.