[an error occurred while processing this directive]

Выпуклость функции Функции графики примеры

 

 Пример 7.32   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^4$; её вторая производная $ f''(x)$ равна $ 12x^2$ и равняется 0 при $ x=0$. Однако поскольку $ f''(x)=12x^2\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$, функция $ f(x)$ выпукла на всей оси $ Ox$, согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости.     

Рис.7.42.Точка 0 не разделяет интервалы разного направления выпуклости функции $ f(x)=x^4$

        Пример 7.33   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^3$. Тогда $ f''(x)=6x$ и $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''(0)=0$) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$.     

Рис.7.43.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^3$

        Пример 7.34   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{ll}
x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-x^2,&\mbox{ при }x<0.
\end{array}\right.
$ Тогда $ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\
-2x,&\mbox{ при }x<0,
\end{array}\right.
$ и $ f''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2,&\mbox{ при }x>0;\\
-2,&\mbox{ при }x<0
\end{array}\right.
$ (при $ x=0$ вторая производная не существует). Тогда $ f''(x)=2>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)=-2<0$ при $ x<0$. Точка $ x_0=0$ (в которой $ f''$ не существует) разделяет интервал вогнутости $ (-\infty;0)$ и интервал выпуклости $ (0;+\infty)$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.44.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=x^2\mathop{\rm sign}\nolimits x$

        Пример 7.35   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sqrt[3]{x}$. Тогда $ f''(x)=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$ (проверьте, что это так!). При $ x=0$ вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова $ f''(x)>0$ при $ x>0$ и $ f''(x)<0$ при $ x<0$. Значит, $ x_0=0$ -- точка перегиба.     

Рис.7.45.Точка 0 -- точка перегиба функции $ f(x)=\sqrt[3]{x}$

        Упражнение 7.2   Проверьте, пользуясь определением точки перегиба, что если $ f(x)$ -- линейная функция ($ f(x)=kx+b$), то любая точка $ x$ есть её точка перегиба.
Проверьте, что любая точка $ x$ (в том числе $ x=0$) есть точка перегиба функции $ f(x)=\vert x\vert$.     
Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек $ x_0$, в которых либо $ f''(x_0)=0$, либо $ f''(x_0)$ не существует. Однако такая точка $ x_0$ может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки $ x_0$.
егко видеть, что функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ g(x)=-f(x)$ выпукла на $ (a;b)$
ис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси