[an error occurred while processing this directive]

Общая схема исследования функции и построения её графика


После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция $ f(x)$. Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения $ \mathcal{D}(f)$. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $ \mathcal{E}(f)$. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $ \mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси $ Ox$), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента $ x$ к граничным точкам области определения $ \mathcal{D}(f)$, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 7.36   Пусть $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x^2},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$ Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при $ x\to0$ функция стремится к $ +\infty$. Значит, вертикальная прямая $ x=0$ служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке $ x=0$.     

4). Если область определения $ \mathcal{D}(f)$ вклоючает в себя лучи вида $ (a;+\infty)$ или $ (-\infty;b)$, то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$ соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью $ Oy$ (если $ 0\in\mathcal{D}(f)$). Для этого нужно вычислить значение $ f(0)$. Найти также точки пересечения графика с осью $ Ox$, для чего найти корни уравнения $ {f(x)=0}$ (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение $ {f(x)=0}$ часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции $ f(x)$ (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной $ f'(x)$.

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной $ f''(x)$. Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения $ \mathcal{D}(f)$ задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при $ x\in\dots$". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей $ f(x)$ как элементарную функцию, вроде:

$\displaystyle f(x)=\ln\vert\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\vert.$
В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений $ x$, при которых правая часть формулы $ f(x)=\dots$ имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид $ f(x)=u(x)^{v(x)}$ или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение $ u(x)$ должно быть положительно, если $ v(x)$ принимает значения любого знака, или $ u(x)$ неотрицательно, если $ v(x)$ положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение $ u(x)^{v(x)}$ может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях $ u(x)$ и $ v(x)$, например, когда $ u(x)<0$ и $ v(x)$ принимает целое значение.