[an error occurred while processing this directive]

Примеры исследования функций и построения графиков


     Пример 7.40   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех $ x$, область определения функции -- вся ось $ Ox$.
2). Функция $ f(x)$ -- нечётная, поскольку при смене знака $ x$ числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда $ f(-x)=-f(x)$. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
4). Найдём наклонные асимптоты при $ x\to\pm\infty$ в виде $ y=kx+b$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=
\lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{x^3...
...}=
\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1+0}=0.$
Таким образом, асимптотой как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$ служит прямая $ y=1x+0=x$.
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: $ f(0)=0$, причём $ x=0$ -- единственное решение уравнения $ f(x)=0$. Значит, график $ y=f(x)$ пересекает сразу и ось $ Ox$, и ось $ Oy$ в начале координат.
Очевидно, что $ f(x)>0$ при $ x>0$ и $ f(x)<0$ при $ x<0$.
6). Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}=
\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.$
Очевидно, что $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; единственная точка, в которой $ f'(x)=0$ -- это $ x=0$. Значит, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$, а в стационарной точке $ x=0$ имеет горизонтальную касательную.
7). Найдём вторую производную:
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=
\dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.$
Знаменатель этой дроби положителен при всех $ x$. Числитель имеет корни $ x=0$ и $ x=\pm\sqrt{3}$, при этом $ f''(x)>0$ на интервалах $ (-\infty;-\sqrt{3})$ и $ (0;\sqrt{3})$ -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах $ (-\sqrt{3};0)$ и $ (\sqrt{3};+\infty)$ выполняется обратное неравенство $ f''(x)<0$, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых $ f''(x)=0$, то есть точки $ -\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$, являются точками перегиба.
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
Рис.7.47.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$

    
     

2. Используя тригонометрические формулы и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными, получаем

б) Вычислить предел

Решение:

1.

Под знаком предела имеем отношение двух бесконечно малых функций при. Сделаем замену переменной.

2. Используя формулы получаем.

Заменяя бесконечно малые функции эквивалентными

Имеем

Выражение под знаком предела является отношением бесконечно малых функций при . Используем замену эквивалентными величинами.

, и еще , имеем

Ответ: