дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Примеры исследования функций и построения графиков


    Пример 7.42   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.

1). Ясно, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, поскольку оба сомножителя в выражении $ f(x)$ определены при любом $ x$. Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.

3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

4). Будем искать наклонные асимптоты в виде $ y=kx+b$. Коэффициент $ k$ найдём по формуле $ k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$: при $ x\to+\infty$ имеем

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(x-2)e^x=+\infty,$

так что при $ x\to+\infty$ асимптоты нет, причём функция $ f(x)$ стремится к $ +\infty$ при $ {x\to+\infty}$.

При $ x\to-\infty$ имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

(для раскрытия неопределённости вида $ [\frac{\infty}{\infty}]$ мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение $ b$ по формуле $ b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]$. Имеем:

$\displaystyle b=\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-0x]= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x... ...\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x-2}{-e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{e^{-x}}=0$

(здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, $ k=0$ и $ b=0$, так что при $ x\to-\infty$ асимптота имеет уравнение $ y=0$, то есть совпадает с осью $ Ox$.

5). Точка пересечения с осью $ Oy$ равна $ f(0)=0$. Заодно нашли одну точку пересечения с осью $ Ox$. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $ Ox$, решаем уравнение $ (x^2-2x)e^x=0$. Поскольку $ e^x\ne0$, решаем уравнение $ x^2-2x=x(x-2)=0$, откуда получаем два корня: $ x=0$ и $ x=2$. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: $ (-\infty;0)$, $ (0;2)$ и $ (2;+\infty)$. Знак функции определяется множителем $ x^2-2x$, поскольку $ e^x>0$ при всех $ x$. Значит, $ f(x)>0$ при $ x\in(-\infty;0)$ и при $ x\in(2;+\infty)$ и $ f(x)<0$ при $ x\in(0;2)$.

6). Вычислим производную:

$\displaystyle f'(x)=(x^2-2x)e^x+(2x-2)e^x=(x^2-2)e^x.$

Интервалы возрастания задаются неравенством $ f'(x)>0$, то есть, с учётом того, что $ e^x>0$, неравенством $ x^2-2>0$. Решением этого неравенства служит множество $ (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$ На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале $ (-\sqrt{2};\sqrt{2})$ выполняется неравенство $ f'(x)<0$, следовательно, это интервал убывания функции. В точке $ -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, значит, точка $ -\sqrt{2}$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle f_{\max}=f(-\sqrt{2})=(2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}\approx1.17.$

В точке $ \sqrt{2}$ убывание сменяется возрастанием, значит, точка $ \sqrt{2}$ -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

$\displaystyle f_{\min}=f(\sqrt{2})=(2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}\approx-3.41.$

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.7.50.Эскиз графика функции $ f(x)$
 

Функции и их графики Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Определенные интегралы Математика Примеры решения задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Пределы Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;