[an error occurred while processing this directive]

Функции и их графики Второй способ задания функции: с помощью формулы


 Пример 1.13   Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$. Пусть $ \wt A=l$ -- прямая $ x_2=1$ на плоскости $ \mathbb{R}^2$. Тогда функция $ \wt f(x)=f\vert _l(x)$ равна $ x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2$. Формально ограничение зависит от точек $ (x_1,x_2)$ плоскости $ \mathbb{R}^2$, но только таких, что $ x_2=1$. Поэтому задание этого ограничения $ \wt f(x_1,x_2)$ эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $ g(x_1)=x_1^2+2x_1+2$. Функция $ g$ -- это одна из возможных параметризаций функции $ f\vert _l$.     

        Замечание 1.4   Во многих учебных примерах при задании функции $ f$ при помощи формулы не указывают область определения $ \mathcal{D}(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения $ \mathcal{D}(f)$ -- максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $ x$, для которых задающее функцию $ f$ выражение $ f(x)$ имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область $ \mathcal{D}(f)$, если в этом возникнет необходимость.  

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, най­дем, что функция принимает отрицательные значе­ния при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

   

        Пример 1.14   Пусть функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}.$

По умолчанию считается, что области $ \mathcal{D}(f)$ принадлежат все те точки $ x\in\mathbb{R}$, что $ {x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}$. Разумеется, для каждой заданной точки $ x_0$ проверить это условие несложно, однако описать множество $ \mathcal{D}(f)$ в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить "в явном виде" данное неравенство.     

Если $ \mathcal{D}(f)$ -- это множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$, то функция $ f:\mathbb{N}\to B$ называется последовательностью. Так как $ \mathbb{N}$ содержит бесконечное множество чисел $ 1,2,3,\dots$, то задать $ f$ в виде таблицы значений $ y_n=f(n)$, где $ n\in\mathbb{N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $ f(n)$ легко угадывается по своим значениям $ y_n$ при небольших $ n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.