[an error occurred while processing this directive]

Обзор некоторых элементарных функций Функции и их графики

 

Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

1. Линейная функция. Это функция вида $ f(x)=kx+b;\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Число $ k$ называется угловым коэффициентом, а число $ b$ -- свободным членом. Графиком $ {\Gamma}_f$ линейной функции служит прямая на координатной плоскости $ xOy$, не параллельная оси $ Oy$.

Угловой коэффициент $ k$ равен тангенсу угла $ {\alpha}$ наклона графика $ {\Gamma}_f$ к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси $ Ox$.

Рис.1.8.График линейной функции -- прямая

2. Квадратичная функция. Это функция вида $ f(x)=ax^2+bx+c; \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ($ a\ne0$).

Графиком $ {\Gamma}_f$ квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси $ Oy$. При $ b=c=0$ вершина параболы оказывается в точке $ O(0;0)$.

Рис.1.9.Парабола $ y=ax^2$ ($ a>0$)


В общем случае вершина лежит в точке $ M_0(x_0;y_0);x_0=-\frac{b}{2a};y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}$. Если $ a>0$, то "рога" параболы направлены вверх, если $ a<0$, то вниз.

Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке $ M_0$ ($ a>0$)

Инструкция на пакете с пельменями это не алгоритм, так как разные исполнители приходят к разным результатам (один не доварил, у другого пельмени расклеились и т.п.)

Люди – плохие исполнители алгоритмов, так как они пропускают все команды через свое сознание и дают им свою интерпретацию, кроме того, они часто ошибаются.

Для того, чтобы построить более или менее содержательную теорию алгоритмов, нужно существенно сузить область применения этого понятия.

 

Вычислимые функции и разрешимые множества

 В этом параграфе мы реализуем последний вывод предыдущего параграфа. Мы будем рассматривать только такие функции, аргументами которых являются натуральные числа, а значения этих функций тоже натуральные числа. Приведем примеры.

Пример 1. Функция следования: . Она вычисляет натуральное число, следующее за x.

Пример 2. Функция сложения: . Вычисляет сумму двух натуральных чисел.

Пример 3. Квадратный корень:

Пример 4. Характеристическая функция пифагоровой тройки