[an error occurred while processing this directive]

Аналитическая геометрия Функции графики примеры


Упражнения и задачи

  Упражнение 7.6   Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: а) $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2+5x+6}{3x-1}$;
в) $ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.$
Ответы: а) $ y=-x+1$ при $ x\to\pm\infty$; б) $ y=\frac{1}{3}x+\frac{16}{9}$ при $ x\to\pm\infty$; в) $ y=-1$ при $ x\to-\infty$ и $ y=1$ при $ x\to+\infty$.     
        Упражнение 7.7   Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $ {f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^2+4}}$ на отрезке $ [-1;4]$.
Подсказка:
Найдите стационарные точки функции, попадающие на заданный отрезок, и добавьте к ним концы отрезка. В одной из этих точек функция будет принимать наибольшее, а в другой -- наименьшее значение.
Решение:
Поскольку знаменатель дроби $ f(x)$ положителен при всех $ x$, функция непрерывна на всей оси $ Ox$. Поэтому все её критические точки -- стационарные. Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x(x^2+4)-2x(x^2-3)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{14x}{(x^2+4)^2}.$
Очевидно, что производная обращается в 0 только в одной точке $ x=0$; эта стационарная точка лежит на заданном отрезке $ [-1;4]$.
Вычисляем значения функции в этой стационарной точке и в концах отрезка:
$\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{5}=-0.2; f(0)=-\frac{3}{4}=-0.75;
f(4)=\frac{13}{20}=0.65.$
Выбирая из этих значений наибольшее и наименьшее, получаем ответ:
Ответ:
$\displaystyle f_{\max}=\max_{x\in[-1;4]}f(x)=f(4)=0.65;
f_{\min}=\min_{x\in[-1;4]}f(x)=f(0)=-0.75.$
    
        Упражнение 7.8   Найдите наибольшие и наименьшие значения функций на заданных отрезках:
а) $ f(x)=x^4-4x^3+4x^2-5$ на отрезке $ [-1;3]$;
б) $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$ на отрезке $ [1;e]$;
в) $ f(x)=\cos x+x\sin x$ на отрезке $ [-\pi;\pi]$.
Ответы: а) $ f_{\max}=f(-1)=f(3)=4; f_{\min}=f(0)=f(2)=-5$;
б) $ f_{\max}=f(\sqrt{e})=\dfrac{1}{2e}; f_{\min}=f(1)=0$;
в) $ f_{\max}=f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2};
f_{\min}=f(-\pi)=f(\pi)=-1$.     
        Упражнение 7.9   Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки локального экстремума функции $ f(x)=x^3-6x^2+5$.
Подсказка:
Найдите производную и решите неравенства $ f'(x)>0$ и $ f'(x)<0$.
Решение:
Производная равна $ f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$. Неравенство $ 3x(x-4)>0$ имеет решение $ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$; на этих двух интервалах $ f(x)$ возрастает. Неравенство $ 3x(x-4)<0$ имеет решение $ x\in(0;4)$; на этом интервале $ f(x)$ убывает. Следовательно, точка $ x=0$ -- точка локального максимума, а точка $ x=4$ -- точка локального минимума.
Ответ:
Интервалы возрастания: $ (-\infty;0)$ и $ (4;+\infty)$; интервал убывания: $ (0;4)$; точка локального максимума: $ x=0$, точка локального минимума: $ x=4$.     
        Упражнение 7.10   Найдите интервалы возрастания и убывания и точки локальных экстремумов функций:
а) $ f(x)=x^4-8x^2+1$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+2}$;
в) $ f(x)=\dfrac{x}{\ln x+1}$.
Ответы: а) интервалы возрастания: $ (-2;0)$ и $ (2;+\infty)$; интервалы убывания: $ (-\infty;-2)$ и $ (0;2)$; точка локального максимума $ x=0$; точки локального минимума $ x=\pm2$;
б) интервалы возрастания: $ (-\infty;-2-\sqrt{5})$ и $ (-2+\sqrt{5};+\infty)$; интервалы убывания: $ {(-2-\sqrt{5};-2)}$ и $ {(-2;-2+\sqrt{5})}$; точка локального максимума $ x=-2-\sqrt{5}$; точка локального минимума $ x=-2+\sqrt{5}$;
в) интервал возрастания: $ (1;+\infty)$; интервалы убывания: $ (0;\frac{1}{e})$ и $ (\frac{1}{e};1)$; точка локального минимума $ x=1$; точек локального максимума нет.