[an error occurred while processing this directive]

Аналитическая геометрия Функции графики примеры

Упражнения и задачи

 
  Упражнение 7.11   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$
и определите наличие в них локального экстремума.
Подсказка:
Стационарные точки задаются уравнением $ f'(x)=0$. Если вторая производная в стационарной точке положительна, то это точка локального минимума, а если отрицательна, то точка локального максимума.
Решение:
Найдём производную: $ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$; стационарные точки задаются уравнением $ 4x(x^2-1)=0$, то есть это точки $ x=0$ и $ x=\pm1$. Вторая производная равна $ f''(x)=12x^2-4$. Её значение в стационарных точках: $ f''(0)=-4<0$; $ f''(\pm1)=8>0$. Следовательно, в точке $ x=0$ -- локальный максимум, а в точках $ x=1$ и $ x=-1$ -- локальный минимум.
Ответ:
Имеется три стационарные точки: $ -1$, 0 и 1; $ -1$ и 1 -- точки локального минимума, а 0 -- точка локального максимума.     
        Упражнение 7.12   Найти стационарные точки функций и исследовать их на наличие локального экстремума:
а) $ f(x)=x^3-4x+2$;
б) $ f(x)=\dfrac{x^2+4}{x+2}$;
в) $ f(x)=x^3\ln x$.
Ответы: а) $ -\frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального максимума; $ \frac{2}{\sqrt{3}}$ -- точка локального минимума;
б) $ -2-2\sqrt{2}$ -- точка локального максимума; $ -2+2\sqrt{2}$ -- точка локального минимума;
в) $ \dfrac{1}{\sqrt[3]{e}}$ -- точка локального минимума; точек локального максимума нет.     
        Упражнение 7.13   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции
$\displaystyle f(x)=-x^4+4x^2-3.$
Подсказка:
Интервалы выпуклости задаются неравенством $ f''(x)>0$, а интервалы вогнутости -- неравенством $ f''(x)<0$.
Решение:
Найдём вторую производную:
$\displaystyle f'(x)=-4x^3+8x; f''(x)=-12x^2+8=4(-3x^2+2).$
Неравенство $ -3x^2+2>0$ имеет решение $ x\in(-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; на этом интервале функция выпукла. Неравенство $ -3x^2+2<0$ имеет решение $ x\in(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; на этих двух интервалах функция вогнута.
В точках $ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ функция меняет направление выпуклости, так что эти точки являются точками перегиба.
Ответ:
Интервал выпуклости: $ (-\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}})$; интервалы вогнутости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})$ и $ (\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $ \sqrt{\frac{2}{3}}$.     
        Упражнение 7.14   Найдите интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба следующих функций:
а) $ f(x)=x^6-3x^4$;
б) $ f(x)=(x^2+1)e^x$;
в) $ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.
Ответы: а) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-\sqrt{\frac{6}{5}})$ и $ (\sqrt{\frac{6}{5}};+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-\sqrt{\frac{6}{5}};\sqrt{\frac{6}{5}})$; точки перегиба: $ -\sqrt{\frac{6}{5}}$ и $ \sqrt{\frac{6}{5}}$.
б) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-3)$ и $ (-1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-3;-1)$; точки перегиба: $ -3$ и $ -1$.
в) Интервалы выпуклости: $ (-\infty;-1)$ и $ (1;+\infty)$; интервал вогнутости: $ (-1;-1)$; точек перегиба нет.     
        Упражнение 7.15   Проведите полное исследование функций и постройте их графики (в затруднительных случаях характерные точки можно находить приближённо):
а) $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$;
б) $ f(x)=x^2e^{-x^2}$;
в) $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$.
Ответы: а) Функция нечётная;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty);$
вертикальные асимптоты $ x=-\sqrt{3}$ и $ x=\sqrt{3}$, наклонная асимптота $ y=-x$. Точка локального максимума $ x=3$, при этом $ f_{\max}=-\dfrac{9}{2}$; точка локального минимума $ x=-3$, при этом $ f_{\min}=\dfrac{9}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.52.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{3-x^2}$

б) Функция чётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; горизонтальная асимптота $ y=0$. Точки локального максимума $ x=\pm1$; значение в этих точках $ f_{\max}=\dfrac{1}{e}$; точка локального минимума $ x=0$. Четыре точки перегиба: $ x=\pm\dfrac{\sqrt{5\pm\sqrt{17}}}{2}.$
Рис.7.53.График функции $ f(x)=x^2e^{-x^2}$

в) Функция нечётная; $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$; асимптоты $ y=x+\pi$ при $ x\to-\infty$ и $ y=x-\pi$ при $ x\to+\infty$. Точка локального максимума $ x=-1$, при этом $ f_{\max}=\dfrac{\pi}{2}-1$; точка локального минимума $ x=1$, при этом $ f_{\min}=1-\dfrac{\pi}{2}$. Единственная точка перегиба $ x=0$.
Рис.7.54.График функции $ f(x)=x-2\mathop{\rm arctg}\nolimits x$