дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа
>

Евклидово пространство Курс лекций

 

Вспомним, как в обычном трехмерном пространстве мы вычисляли скалярное произведение векторов. Если координаты векторов

$\displaystyle {\bf a}=({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\,{\alpha}_3)$   и$\displaystyle \quad {\bf b}=({\beta}_1,\,{\beta}_2,\,{\beta}_3)$

были заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произведение вычислялось по формуле

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+{\alpha}_3{\beta}_3.$

Аналогичной формулой можно задать и скалярное произведение в $ n$ -мерном пространстве.

Пусть $ L$  -- вещественное $ n$ -мерное пространство, в котором задан базис $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тогда векторы $ a$ и $ b$ из $ L$ задаются своими координатами:

$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n,\quad b={\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n.$

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно $ {(a,b)}$ , задается формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}_1{\beta}_1+{\alpha}_2{\beta}_2+\ldots+{\alpha}_n{\beta}_n.$(18.3)
 


В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в $ n$ -мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в $ n$ -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ , $ {{\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)}$  -- координатные столбцы векторов $ a$ и $ b$ , то скалярное произведение можно задать формулой

$\displaystyle (a,b)={\alpha}^{\top}{\beta}.$

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

        Определение 18.5   Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.         

В трехмерном пространстве модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя $ {\vert{\bf a}\vert=\sqrt{{\bf a}\cdot {\bf a}}}$ . В евклидовом пространстве модуль вектора определим аналогично

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{(a,a)},$

то есть

$\displaystyle \vert a\vert=\sqrt{{\alpha}_1^2+{\alpha}_2^2+\ldots+{\alpha}_n^2}.$

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в $ n$ -мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

        Определение 18.6   Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.         
       

Непрерывность функций и точки разрыва Вычислить интегралы Математика Примеры решения задач

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;