дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений


По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

        Определение 8.2   Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.     

В соответствии с этим определением вершина параболы $ y=x^2$ является вершиной линии $ y=x^2$ в новом, обобщённом, смысле.

        Пример 8.2   Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$. Её верхняя половина (при $ {y\geqslant 0}$) -- это график функции $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке $ [-R;R]$. Возьмём точку $ {x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом $ x$. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}} {\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}= \dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности23.     

        Пример 8.3   Рассмотрим прямую $ y=kx+b$. Поскольку $ y''=0$, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.     

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой $ y=f(x)$, то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $ k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при $ f''(x)=0$, в частности, во всех точках перегиба функции $ f(x)$ (тех, где вторая производная существует).

        Пример 8.4   Рассмотрим параболу четвёртой степени $ y=x^4$. Поскольку вторая производная $ y''=12x^2$ обращается в 0 при $ x=0$, то точка $ O(0;0)$ служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0.     

Рис.8.2.Парабола $ y=x^4$ имеет три вершины


        Упражнение 8.1   Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение.

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

Непрерывность функций и точки разрыва Вычислить интегралы Математика Примеры решения задач

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Производные и дифференцирование функции Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами \begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;