[an error occurred while processing this directive]

Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений


По аналогии с параболой мы можем дать такое определение:

        Определение 8.2   Назовём вершиной кривой $ y=f(x)$ любую точку этой кривой, в которой кривизна $ k(x)$ имеет локальный экстремум.     

В соответствии с этим определением вершина параболы $ y=x^2$ является вершиной линии $ y=x^2$ в новом, обобщённом, смысле.

        Пример 8.2   Рассмотрим окружность $ x^2+y^2=R^2$. Её верхняя половина (при $ {y\geqslant 0}$) -- это график функции $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ на отрезке $ [-R;R]$. Возьмём точку $ {x\in(-R;R)}$ и найдём кривизну окружности при этом $ x$. Имеем:

$\displaystyle y'=-\dfrac{x}{(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}}},$

$\displaystyle y''=-\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}},$

откуда

$\displaystyle k(x)=\dfrac{\dfrac{R^2}{(R^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}}
{\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}=
\dfrac{R^2}{R^3}=\dfrac{1}{R}.$

Получаем, что кривизна окружности в любой её точке одинакова и обратна радиусу окружности

        Пример 8.3   Рассмотрим прямую $ y=kx+b$. Поскольку $ y''=0$, то кривизна прямой в любой точке равна 0. Как и у окружности, все точки прямой -- это её вершины.     

Заметим, что, по определению, кривизна неотрицательна, так что если она равна 0 в некоторой точке кривой $ y=f(x)$, то эта точка является вершиной кривой. Поскольку $ k(x)=\dfrac{\vert f''(x)\vert}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}},$ это может случиться лишь при $ f''(x)=0$, в частности, во всех точках перегиба функции $ f(x)$ (тех, где вторая производная существует).

        Пример 8.4   Рассмотрим параболу четвёртой степени $ y=x^4$. Поскольку вторая производная $ y''=12x^2$ обращается в 0 при $ x=0$, то точка $ O(0;0)$ служит одной из вершин этой параболы: в ней кривизна принимает минимальное значение 0.     

Рис.8.2.Парабола $ y=x^4$ имеет три вершины


        Упражнение 8.1   Найдите оставшиеся две вершины параболы четвёртой степени, в которых кривизна принимает максимальное значение.

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.     

 Теоремы 5.1.-5.5. позволяют сформулировать следующий алгоритм решения в целых числах уравнения , где :

найти целое решение уравнения  путем представления 1 как линейной комбинации чисел   и ;

составить общую формулу целых решений данного уравнения 

где х0, у0 – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

 

Задания для самостоятельного решения

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решить уравнения в целых числах:

а) 27х – 40y = 1; б) 54x + 37y = 7; в) 107x + 84y =1;

г) 13x – 15y =7; д) 81x + 52y = 5; e) 24x – 56y = 72.

На какое наименьшее число надо умножить 7, чтобы произведение оканчивалось на 123.

Найти все четырёхзначные простые числа, начинающиеся и оканчивающиеся цифрой 1.