[an error occurred while processing this directive]

Вершины кривых Приближённое нахождение корней уравнений

  Пример 8.5   Рассмотрим гиперболу $ y=\dfrac{a}{x}$ ($ a>0$). Поскольку $ y'=-\dfrac{a}{x^2}$ и $ y''=\dfrac{2a}{x^3}$, имеем
$\displaystyle k(x)=
\left\vert\dfrac{\dfrac{2a}{x^3}}{\left(1+\dfrac{a^2}{x^4}...
...\frac{3}{2}}}
\right\vert=
\dfrac{2a\vert x\vert^3}{(x^4+a^2)^{\frac{3}{2}}}.$
    
        Пример 8.6   Найдём точку локального максимума кривизны гиперболы и покажем, что вершина гиперболы как кривой совпадает с её вершиной, понимаемой как пересечение гиперболы с её осью симметрии $ y=x$.
Рассмотрим часть гиперболы, лежащую при $ x>0$ (вторая половина -- симметрична рассматриваемой). Поскольку $ z=t^{\frac{2}{3}}$ -- возрастающая при $ t\geqslant 0$ функция, точки экстремума функций $ k(x)$ и
$\displaystyle f(x)=(k(x))^{\frac{2}{3}}=(2a)^{\frac{2}{3}}\dfrac{x^2}{x^4+a^2}$
совпадают. Ввиду того, что функция $ t=x^2$ также возрастает при $ x\geqslant 0$, достаточно сделать замену $ x^2=t$ и перейти к нахождению экстремума функции
$\displaystyle g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2},$
график которой при $ t\geqslant 0$ имеет такой вид:
Рис.8.3.График функции $ g(t)=\dfrac{t}{t^2+a^2}$

Точка максимума $ t_0$ ищется из условия $ g'(t_0)=0$; легко подсчитать, что
$\displaystyle g'(t)=\dfrac{a^2-t^2}{(t^2+a^2)^2},$
откуда $ t_0=a$ и $ x_0=\sqrt{a}$ -- абсцисса вершины гиперболы как кривой $ y=\dfrac{a}{x}$.
С другой стороны, пересечение гиперболы с прямой $ y=x$ находим из уравнения
$\displaystyle \dfrac{a}{x}=x,$
откуда также получаем, что вершина гиперболы имеет абсциссу $ x_0=\sqrt{a}$.
Отметим, что кривизна гиперболы в её вершине равна
$\displaystyle k_{\max}=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.$
    

Рис.8.4.Гипербола и её две симметричных вершины

Пример: Вычислить предел

Решение:

Здесь

- многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка) и  - многочлен второй степени (бесконечно большая последовательность порядка ).

1. Вынесем в числителе множитель  , получим

.

2. Вынесем в знаменателе множитель  , получим 

 3. Имеем

4. Сокращая  и используя теорему о пределе частного, получаем

Ответ:



        Упражнение 8.2   Эллипс -- это кривая, которая в некоторой декартовой системе координат $ xOy$ на плоскости задаётся уравнением
$\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,$
где $ a$ и $ b$ -- положительные числа и $ a\ne b$.
Покажите, что четыре точки пересечения эллипса с осями координат являются его вершинами, причём в двух вершинах кривизна принимает наибольшее значение, а в двух других -- наименьшее. Для этого рассмотрите, как из данного уравнения выражаются зависимости $ y(x)$ и $ x(y)$.
Рис.8.5.Эллипс и его четыре вершины

Найдите значение кривизны в вершинах эллипса.     

Ответ: эти две вершины расположены при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[6]{56}}$.