Радиус кривизны Приближённое нахождение корней уравнений

        Определение 8.3   Радиусом кривизны кривой $ L$ в точке $ M\in L$ называется число $ r=\dfrac{1}{k}$, где $ k$ -- кривизна линии $ L$ в точке $ M$. Если кривизна в точке $ M$ равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным $ +\infty$.     

Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).

Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии $ L$ в фиксированной точке $ M(x_0;y_0)$, наиболее плотно прилегает к линии $ L$ та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке $ M$, и выпуклость в ту же сторону, что кривая $ L$. Эта окружность называется окружностью кривизны линии $ L$ в точке $ M$.

Рис.8.6.Окружности, касающиеся линии $ L$, и окружность кривизны

        Пример 8.7   Радиус кривизны параболы $ y=x^2$ в её вершине равен $ r=\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{2}$. Значит, окружность радиуса $ \frac{1}{2}$ с центром в точке $ C(0;\frac{1}{2})$ наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы.     

Рис.8.7.Окружность кривизны для параболы в вершине

Свойства показательной функции непосредственно вытекают из свойств степени.

1. Показательная функция определена на всей числовой оси, то есть на интервале .

2. a0 = 1, при любом основании.

3. При а > 1, аx > 1 для х > 0 и аx < 1 для х < 0.

4. При 0 < a < 1, аx < 1 для х > 0 и аx > 1 для х < 0.

5. Область изменения (значений) функции у = аx является множество положительных чисел, то есть интервал (0;).

6. Функция монотонна

6.1. Если а > 1, то аx возрастающая.

6.2. Если 0 < а < I, то аx убывающая.

7. Если а < b, то аx < bx при х > 0 и аx < bx при х < 0.

8. Производная функции у = аx

Используя вышеперечисленные свойства, получаем график функции у = аx.


1. Областью определения является множество положительных чисел, то есть (0;).

2. Областью значений является множество действительных чисел, то есть

 (-;+).

3. loga 1 = 0 при любом a.

4. Функция logax монотонна.

 4.1. При а > 1 функция возрастает.

 4.2. При 0 < а < 1 функция убывает.

 5. Если а > 1, то loga х > О при х > 1 и loga х < V при 0 < х < 1.

 6. Если а < 1, то loga х < 0 при х > 1 и loga х > 0 при 0 < х <1.

 7. Производная функции у = loga х

8. График функции