[an error occurred while processing this directive]

Приближённое нахождение корней уравнений Упражнения


        Упражнение 8.3   Найдите вершины кубической параболы $ {y=x^3}$. Вычислите кривизну во всех этих вершинах.
Ответ:
Вершины расположены при $ x=0$ и при $ x=\pm\dfrac{1}{\sqrt[4]{45}}$. Кривизна при $ x=0$ равна 0 (это точка перегиба); в остальных двух вершинах: $ k=\dfrac{5\sqrt[4]{5}}{3\sqrt{2}}$.
Для справки:
$\displaystyle k(x)=\dfrac{6\vert x\vert}{(1+9x^4)^{\frac{3}{2}}};
k'(x)=\dfrac{6(1-45x^4)}{(1+9x^4)^{\frac{5}{2}}}$ (при $ x\geqslant 0$)$\displaystyle .$
        Упражнение 8.4   Найдите кривизну $ k(x)$ кривой $ y=\dfrac{1}{x^2+1}$ при произвольном значении $ x$.
Ответ:
$\displaystyle k(x)=\dfrac{2\vert 3x^2-1\vert(x^2+1)^3}{((x^2+1)^4+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

ТЕМА 4. Теорема о делении с остатком. Еще один способ нахождения НОД

 Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.

 Теорема 4.1. Для любого целого а и целого  существуют и единственные целые q и r, такие что .

 Замечание 4.2. В частности, если  , то  и  делится на .

 Замечание 4.3. Если  то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b.

 Из Т.4.1. следует, что при фиксированном целом m>0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:

 

При этом если  то будем иметь , если  и

 , если .