[an error occurred while processing this directive]

Метод простого перебора Приближённое нахождение корней уравнений

 

Пусть задана точность $ {\varepsilon}$, с которой мы хотим приближённо найти корень $ x^*$. Это означает, что мы должны предъявить в качестве результата вычислений известное число $ \wt x$, которое отличается от истинного значения корня $ x^*$ (которое нам неизвестно) не более чем на $ {\varepsilon}$: $ \vert\wt x-x^*\vert\leqslant {\varepsilon}$.

Пусть искомый корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$.

 

Самый простой (но и самый медленный) способ отыскать $ \wt x$ -- взять шаг $ h\leqslant 2{\varepsilon}$ и перебирать значения $ x$ с шагом $ h$ до тех пор, пока функция не сменит знак (по сравнению со знаком исходного числа $ f(a)$. Последовательно получаем: $ x_0=a; f(x_0)=f_0$; $ {x_1=x_0+h; f(x_1)=f_1}$; $ x_2=x_1+h;f(x_2)=f_2;\dots$. Вычисления продолжаются, пока $ f_0\cdot f_i>0$. Как только мы получим $ f_0\cdot f_i\leqslant 0$, нужно взять за приближённое значение корня середину между последними двумя точками: $ \wt x=\dfrac{x_i+x_{i-1}}{2}$. Поскольку по теореме о корне непрерывной функции

ТЕМА 5. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах

 Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного переменного.

 На основании положений рассмотренных ранее можно сформулировать утверждения, позволяющие находить решения неопределенных уравнений.

 Теорема 5.1. Если , то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство .

 Замечание. Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением НОД двух чисел через эти числа.

 Теорема 5.2. Если в уравнении ,  , то уравнение имеет по крайней мере одно решение.

 Теорема 5.3. Если в уравнении  и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

 Теорема 5.4. Если в уравнении  и , то оно равносильно уравнению  , в котором .

 Теорема 5.5. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

 

где х0, у0 – целое решение уравнения ,  - любое целое число.