дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ
Вывод изображения на печать
Интегралы | Дифференциальные уравнения Векторная алгебра Вычисление интегралов | Типовой расчет Интегралы при вычислении | Windows Информатика | Математика | Функции Пределы | Производная | Графики | Системы уравнений | Матрицы Лекции
Вычисление двойного интеграл Преобразование комплексного чертежа

Собственные числа и собственные векторы

 

 Пример 19.8   Пусть $ L$  -- двумерное векторное пространство, $ l$  -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, $ \mathcal{A}$  -- преобразование, переводящее каждый вектор $ x$ в его проекцию на прямую $ l$ (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой $ l$ , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной $ l$ и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.         
        Пример 19.9   Пусть $ \mathcal{A}$  -- линейное преобразование  примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.         

Если в пространстве $ L$ задан базис, то линейному преобразованию $ \mathcal{A}$ соответствует матрица $ A$ . Пусть $ x$  -- собственный вектор преобразования $ \mathcal{A}$ , соответствующий собственному числу $ {\lambda}$ , $ {\alpha}$  -- координатный столбец вектора $ x$ . Тогда равенство $ {\mathcal{A}(x)={\lambda}x}$ означает, что $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .

        Определение 19.4   Ненулевая матрица-столбец $ {\alpha}$ называется собственным вектором квадратной матрицы $ A$ , соответствующим собственному числу $ {\lambda}$ , если выполнено равенство $ {A{\alpha}={\lambda}{\alpha}}$ .         
        Замечание 19.2   Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования $ n$ -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.         
        Предложение 19.3   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

        Доказательство.     Пусть $ A$ и $ B$  -- две подобные матрицы порядка $ n$ . Рассмотрим $ n$ -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис $ {e_1,\ldots,\,e_n}$ и рассмотрим линейное преобразование $ \mathcal{A}$ , которое в этом базисе имеет матрицу $ A$ . По  следствию 19.1 $ B$ будет матрицей того же преобразования $ \mathcal{A}$ в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования $ \mathcal{A}$ будет совпадать со спектрами матриц $ A$ и $ B$ .     

 
       

 

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Вычислить криволинейный интеграл Математика Примеры решения задач

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом Многочлен $ P(x)$, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции $ f(x)$, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции $ f(x)$ приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена $ P(x)$.

Исследование функций и построение графиков Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Приближённое нахождение корней уравнений




 


Элементы чертежей и схем Волновая функция Маршрутизация в локальных сетях ;