[an error occurred while processing this directive]

Метод половинного деления Приближённое нахождение корней уравнений

 

  Пример 9.5   Снова рассмотрим уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$. Пусть корень этого уравнения требуется вычислить с точностью $ {\varepsilon}=0.001$. Начинаем решение методом половинного деления с отрезка $ [-2;-1]$, на котором отделён корень $ x^*$.
Последовательно находим значение функции в серединах получающихся отрезков:
\begin{multline*}
f(-1.5)=1.625;f(-1.75)=0.515625;f(-1.875)=-0.185547;\dots;\\
f(-1.841797)=0.011269,
\end{multline*}
после чего вычисления прекращаются на девятом шаге, так как очередной отрезок имеет длину $ \dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}<2{\varepsilon}=\dfrac{1}{500}.$ При этом середина последнего отрезка -- это точка $ -1.842773$. Получаем, что приближённое значение $ \wt x$ корня $ x^*$ с точностью до $ 0.001$ равно $ \wt x\approx-1.843$.     

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно один раз вычислять значение функции $ f(x)$ (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придётся для нахождения корня с точностью $ {\varepsilon}$ вычислить значение функции $ N=k+1$ раз. Число $ k$ можно определить из неравенства $ \dfrac{b-a}{2^k}\leqslant 2{\varepsilon}$, откуда

$\displaystyle N=k+1=\left\lceil\log_2\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1.$

Это значение $ N$ при малых $ {\varepsilon}$ много меньше того значения $ N=\left\lceil\dfrac{b-a}{2{\varepsilon}}\right\rceil+1$, которое мы получили, анализируя метод простого перебора.

Заметим, что метод деления отрезка пополам, как и метод простого перебора, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию её производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

Далее мы рассмотрим более быстрые методы, в которых наличие производной будет играть существенную роль.

    

Множество всех значений, которые принимает функция, называется областью значений.

Обычно тот факт, что задана функция обозначается:

Следует заметить, что в определение функции участвуют два понятия, соответствие (или закон) и область определения функции.

Способы задания

Наиболее естественный способ задания функции (задание закона, соответствия) является описание функции на естественном языке.

Например. Числу поставлен в соответствие его квадрат.

Такой способ описания функции называется словесным.

Достаточно часто для сокращения записи определения функции используют символы и обозначения математических операций.

Такой способ называется аналитическим.

Например, у = х2.

Если множество Х содержит конечное число элементов , то можно расположить в таблице соответствующие значения

Такой способ представления функции называется табличным.

Если функция у = f(х) задана на множестве X, то каждому значению х соответствует значение у. Каждую пару х и у будем рассматривать как абсциссу и ординату точки М в некоторой прямоугольной системе координат.

(Геометрическое множество таких точек называется графиком функции).

Такой способ называется графическим.