[an error occurred while processing this directive]

Обзор некоторых элементарных функций Функции и их графики


Степенная функция. Это функция вида $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$. Рассматриваются такие случаи:

а). Если $ {\alpha}\in\mathbb{N}$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$; если число $ {\alpha}$ -- чётное, то и функция $ f$ -- чётная (то есть $ f(-x)=f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$); если число $ {\alpha}$ -- нечётное, то и функция $ f$ -- нечётная (то есть $ f(-x)=-f(x)$ при всех $ x\in\mathcal{D}(f)$).

Рис.1.11.График степенной функции при $ {\alpha}=1,2,3,4$

  Если  сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна , а их произ­ведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Функция вида ах2 +bх + с называется квадратным трехчленом.   Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

 ах2 +bх + с =а(х-х1)(х-х2)

где х1   и   х2   —   корни   трехчлена

 Если  дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах2 +bх + с =а(х-х1)2

где х1 — корень трехчлена.

Например, 3х2 - 12х + 12 = 3(х - 2)2.

Уравнение вида ах4   + bх2   + с = 0 называет­ся биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х2 = y  оно приводится к квадратному уравнению аy2 + by + с = 0.

 



б). Если $ {\alpha}\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}\leqslant 0$, то $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для $ {\alpha}>0$: если $ {\alpha}$ -- чётное число, то и $ f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$ -- чётная функция; если $ {\alpha}$ -- нечётное число, то и $ f(x)$ -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при $ {\alpha}=0,-1,-2,-3$


Снова заметим, что $ f(1)=1$ при всех $ {\alpha}$. Если $ {\alpha}=0$, то $ {f(x)=x^0=1}$ при всех $ x$, кроме $ x=0$ (выражение $ 0^0$ не имеет смысла).

в). Если $ {\alpha}$ -- не целое число, то, по определению, при $ {\alpha}>0$: $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$; тогда $ f(0)=0$, $ f(1)=1$.

Рис.1.13.График степенной функции при $ {\alpha}>0$


При $ {\alpha}<0$, по определению, $ \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$; тогда $ f(1)=1$.

Рис.1.14.График степенной функции при $ {\alpha}<0$