[an error occurred while processing this directive]

Функции и их графики Обзор некоторых элементарных функций


Функция котангенс: $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе также $ \cot x$). По определению, $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$. Если $ x\ne\dfrac{k\pi}{2}$ ( $ k\in\mathbb{Z}$), то $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}$. Функция $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ нечётна и периодична с периодом $ \pi$;

 

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi;(k+1)\pi),$

 

то есть $ x$ не может принимать значения вида $ x=k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, при которых $ \sin x$ обращается в 0.

Рис.1.26.График функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits x$


Абсолютная величина (модуль): $ f(x)=\vert x\vert$, $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки $ x\in\mathbb{R}$ до точки 0:

 

$\displaystyle \vert x\vert=\left\{\begin{array}{l}
x,\mbox{ если }x\geqslant 0;\\
-x,\mbox{ если }x<0.
\end{array}\right.
$

 

Функция $ \vert x\vert$ чётная, её график такой:

Рис.1.27.График функции $ \vert x\vert$


Функция четная.

Функция периодическая (периодом является любое число, основного периода нет).

Функция ограничена.

Функция постоянная.

1 в. Функция y = kx + b.

Функция y = kx + b является суммой двух функций y = kx и у = b. Следовательно область определения R (множество действительных чисел).

Область значения R.

Функция общего вида при

Функция не является периодической.

Функция не ограничена.

Функция монотонна (k > 0 возрастающая, k < 0 убывающая).


График функции получается из графика функции y = kx сдвигом по оси ординат на величину b.

Дробно - линейная функция

а, b, с, d - постоянные, причем  (иначе мы имели бы линейную функцию) и (иначе произошло бы сокращение и мы получили бы постоянную функцию).

 la. В начале рассмотрим функцию