[an error occurred while processing this directive]

Функции и их графики Обзор некоторых элементарных функций


Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.

Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x_1;x_2):x_1\in\mathbb{R},x_2\in\mathbb{R}\}$ расстояние $ r$ от точки $ M(x_1;x_2)$ до точки $ O(0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию

 

$\displaystyle f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2)=\sqrt{x_1^2+x_2^2}.$

 

Эта функция имеет область значений

 

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\}.$

 

График её ограничения на круг $ A\sbs\mathbb{R}^2$ построен в примере 1.8.

Аналогично, расстояние $ r$ в пространстве $ \mathbb{R}^3$ от точки $ M(x_1;x_2;x_3)$ до точки $ O(0;0;0)$ определяется по формуле $ r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ и задаёт функцию

 

$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}; f(x_1;x_2;x_3)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x^2_3}.$

 

Эта функция имеет ту же область значений

 

$\displaystyle \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}:y\geqslant 0\},$

 

что и в двумерном случае.

Теоремы 5.1.-5.5. позволяют сформулировать следующий алгоритм решения в целых числах уравнения , где :

найти целое решение уравнения  путем представления 1 как линейной комбинации чисел   и ;

составить общую формулу целых решений данного уравнения 

где х0, у0 – целое решение уравнения ,  - любое целое число.

 

ТЕМА 6. Сравнения по данному модулю

 Определение 6.1. Целые числа  и называются равно остаточными при делении на целое число , если остаток от деления  и  на  равны.

 Пример. 1) 5 и 56 равноостаточные при делении на 7.

 2)–17; 3; 15 равноостаточные при делении на 4.

 Теорема 6.2. Для того чтобы числа  и  были равно остаточными при делении на целое число , необходимо и достаточно, чтобы .

 Следствие 6.3. Если числа  и  равноостаточны при делении на  и  , то  и  равноостаточны при делении на  .

 Замечание 6.4. Равноостаточные при делении на  числа  и  называются также сравнимыми по модулю . Это обозначается так:

 .

Эта форма записи называется еще сравнением.